数字信号处理(方勇)第三章习题答案3－1 画出)5.01)(25.01()264.524.14)(379.02()(211211------+--+--=z zz z z z z H 级联型网络结构。
解：23－2 画出112112(23)(465)()(17)(18)z z z H z z z z --------+=--+级联型网络结构。
解：()x n ()y n 243－3 已知某三阶数字滤波器的系统函数为1211252333()111(1)(1)322z z H z z z z -----++=-++，试画出其并联型网络结构。
解：将系统函数()H z 表达为实系数一阶，二阶子系统之和，即：()H z 11122111111322z z z z ----+=+-++ 由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示：)题3-3图3－4 已知一FIR 滤波器的系统函数为121()(10.70.5)(12)H z z z z ---=-++，画出该FIR 滤波器的线性相位结构。
解： 因为121123()(10.70.5)(12)1 1.30.9H z zz z z z z ------=-++=+-+，所以由第二类线性相位结构画出该滤波器的线性相位结构，如题3-4图所示：()x n 1-1-1z -题3-4图3－5 已知一个FIR 系统的转移函数为：12345()1 1.25 2.75 2.75 1.23H z z z z z z -----=+--++求用级联形式实现的结构流图并用MATLAB 画出其零点分布及其频率响应曲线。
解： 由转移函数可知，6=N ，且)(n h 偶对称，故为线性相位系统，共有5个零点，为5阶系统，因而必存在一个一阶系统，即1±=z 为系统的零点。
而最高阶5-z 的系数为+1，所以1-=z 为其零点。
)(z H 中包含11-+z 项。
所以：11()()(1)H z H z z -=+。
1()H z 为一四阶子系统，设12341()1H z bz cz bz z ----=++++，代入等式，两边相等求得12341()10.2530.25H z zz z z ----=+-++，得出系统全部零点，如图3-5（b ）所示。
系统流图如题3-5（a ）图所示。
)(n x )(n y 1-z 1-z 1-z题3-5（a ）图MATLAB 程序如下，结果如题3-5（b ）图所示：b=[1 1.25 -2.75 -2.75 1.25 1];a=[1]; figure(1) zplane(b,a);figure(2);OMEGA=-pi:pi/100:pi; H=freqz(b,a,OMEGA);subplot(2,1,1),plot(OMEGA,abs(H));subplot(2,1,2),plot(OMEGA,180/pi*unwrap(angle(H)));题3-5（b ）图3－6 给定26()1(164)H j Ω=+Ω，确定模拟滤波器的系统函数()H s 。
解：根据给定的平方幅度响应，得262311()1641()0.5H j ⨯Ω==Ω+Ω+与221()1()NcHj Ω=Ω+Ω比较，得到3,0.5cN =Ω=。
取左半平面的三个极点，得1262θπππ=+=，极点111(cos sin )c sj θθ=Ω+； 222θπππ=+=，极点222(cos sin )c csj θθ=Ω+=-Ω；因此由()()N ck kH s s s Ω=-∏，得3123()()()()cH s s s s s s s Ω=---对共轭极点1s ，3s 有2213111()()()()2cos c cs s s s s s s s s s θ*--=--=-Ω+Ω代入上式，得20.125()(0.5)(0.50.25)H s s s s =+++3－7 模拟低通滤波器的参数如下：3dBpα=，25dB s α=，25Hz p f =，50Hz s f =，用巴特沃斯近似求()H s 。
解：已知3dBpα=，25dB sα=，25Hz p f =，50Hzs f =，确定巴特沃斯滤波器的阶数如下：250))225s p N ππΩ⨯≥=Ω⨯50lg() 4.1525==取5N =。
本题由于pα正好是3dB ，故低通滤波器的3dB 截止频率为：222550157()c p p f rad s πππΩ=Ω==⨯==或者，由下式来求取cΩ。
110.10.13210225157()(101)(101)ppc Nrad s απ⨯Ω⨯Ω===--将cΩ代入五阶巴特沃斯模拟低通传递函数54321()() 3.236() 4.236() 4.236() 3.236()1c c c c cH s s s s s s=+⨯+⨯+⨯+⨯+ΩΩΩΩΩ1159494634211.04810 5.32610 5.32610 1.09510 1.719100.0211s s s s s s -----=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++3－8 已知1()1/acH s s =+Ω，使用脉冲响应不变法和双线性方法分别设计数字低通滤波 器，使得3dB 截止频率为cω=0.25π。
解：（1）双线性变换法：3dB 截止频率为cω=0.25π，20.250.828tan()2c T TπΩ==于是1()1/0.828aH s sT =+∴11112111()()1(2/0.828)[(1)(1)]a z s T z H z H s z z -----=⋅+==+-+=0.292011110.4159z z--+- 参数T 不参与设计（2）脉冲响应不变法：3dB 截止频率为cω=0.25π，20.250.828tan()2c T TπΩ==于是1()1/0.828aH s sT =+0.828/0.828/T s T=+ 因为脉冲响应不变法是由下面的映射完成的：1111l p Tls pez--→+-所以0.828/10.82810.828/0.828/()11T TTTH z e ze z -⋅--⋅-==--3－9 用脉冲响应不变法将()H s 转换为()H z ，采样周期为T0()()mA H s s s =-，其中m 为任意整数解：[]0-11()()()(1)!s nT m Ah t H s e t u t m -==-L01()()()(1)!m s nTm AT h n Th nT n e u n m -==-[]0011111101()()(1)(1)!(1)!1m m m s nT m n m m s T m n AT AT d H z h n n e z z m m dz e z -∞------=⎛⎫===- ⎪---⎝⎭∑L上式递推可得：000111,11(),2,3,(1)s T s T m s T m AT m e zH z AT e z m e z ---⎧=⎪-⎪=⎨⎪=⎪-⎩3－10 要求设计一个数字低通滤波器，在频率低于0.2613ωπ=的范围内，低通幅度特性为常数，并且不低于0.75dB ，在频率0.4018ωπ=和π之间，阻带衰减至少为20dB 。
试求出满足这些指标的最低阶巴特沃斯滤波器的传递函数)(z H ，采用双线性变换。
解：令2()aH j Ω为模拟滤波器的平方幅度函数，且由于采用双线性变换，2tan(/2)TωΩ=若1T =，故我们要求0.261320lg (2tan())0.7520.401820lg (2tan())202a H j Ha j ππ≥-≤-因此巴特沃斯滤波器的形式为：221()1(/)a Na H j Ω=+ΩΩ所以20.075222tan(0.1306)1()102tan(0.2009)1()10NcNcππ+=Ω+=Ω因此：20.0751lg[(101)/(101)]2lg[tan(0.2009)/tan(0.1306)]N ππ--==1lg[99/0.1885]220.136160.36153⨯-+=1 2.72033 6.0352520.22537⨯=指标放松一点，可以取6N =，代入上式得2621/122tan(0.2009)1()102tan(0.2009)990.9967ccc ππ⨯+=Ω=ΩΩ=对于这个0.9967cΩ=值，通带技术指标基本达到，阻带技术指标刚好满足，在s 平面左半部由三个极点对，其坐标为1()2(1)c j NpsΩ=-。
极点对1：0.25790.9627j -±；极点对2：0.70470.7047j -±；极点对3：0.96270.2579j -±。
于是2220.9804()(0.51580.9933)( 1.40940.9933)( 1.92560.9933)a H s s s s s s s =++++++以112(1)/(1)s zz --=-+代入上式，最后可得16120.0044(1)()1 1.09150.8127z H z z z ---+=⨯-+121210.86910.443410.93920.5597z z z z -----+-+3－11 试设计一巴特沃斯数字低通滤波器，设计指标为：在0.3π通带频率范围内，通带幅度波动小于1dB ，在0.5ππ阻带频率范围内，阻带衰减大于12dB 。
解： 由题意可以得出：pω＝ 0.3πrad , pα＝1dBsω＝ 0.5πrad , sα＝12dB（1）频率预畸变pΩ＝22p tg T ω ＝π15.02tg T＝ 1.019/T rad/s sΩ＝22s tg T ω ＝π25.02tg T＝ 2/T rad/s（2）确定滤波器阶数：spk ＝1101101.01.0--s pαα ＝1101102.11.0-- ＝ 0.1321spλ＝ps ΩΩ ＝ T T 019.112⨯＝1.9627N ＝ －spspk λlg lg ＝ －9627.1lg 1321.0lg ＝ 3.002 ， 取N＝ 3（3）查表求归一化低通滤波器函数)(p H a ＝122123+++p p p（4）求模拟滤波器系统函数110.10.1261.019 1.2764(101)(101)pNc p T Tα--Ω=Ω-=-=（/rad s ）)(s H a ＝)(p H a csp Ω=|＝3322322cc c cs s s Ω+Ω+Ω+Ω332222.07932*1.27642*1.2764 2.0793s T T s Ts =+++(5) 求系统函数)(z H将112(1)(1)z s T z ---=+代入得：)(z H =1231230.07660.23270.23270.076610.80040.50400.6799z z z z z z ------+++-+-3－12 用双线性变换法设计数字低通滤波器，等效模拟滤波器指标参数如下：输入模拟信号)(t xa的最高频率100H dfz=；选用巴特沃斯滤波器，3dB 截止频率100H cfz=，阻带截止频率150H s f z=，阻带最小衰减sα=20dB。