第1章 集合1.1 集合的含义及其表示一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求 建议集合的概念 确定性、互异性、无序性 了解 集合是不定义的原始概念，通过举例进行概念辨析；会用适当的方法表示集合；数形结合、分类讨论思想在集合中有重要应用.集合的表示 列举法、描述法、Venn 图了解 元素与集合、集合与集合的关系属于、包含了解二、 预习指导 1. 预习目标(1)通过预习初步了解集合的概念，能用集合的语言描述具体问题； (2)会判断元素与集合的关系；知道几个常用数集的表示方法； (3)会用列举法、描述法及Venn 图表示集合. 2. 预习提纲(1)对集合的理解应从初中数学和实际生活中寻找实例，请举例，并与同学交流辨析. (2)对课本中集合的定义的理解要注意关键词的内涵，请找出你认为的关键词.(3)用列举法、描述法表示集合时，应注意根据问题选择合理的表示方法，归纳一下哪类问题宜用哪种表示法.(4)课本例1是解一元一次不等式，并将不等式的解用集合的形式表示出来，这是一种常见题型.同学们解不等式要正确，解集的表达也要正确. (5)上网查阅集合论的创始人康托(Cantor)的资料. 3. 典型例题例1 判断下列描述的对象能否构成集合：(1)某校高一(1)班的女生； (2)某校高一(1)班比较聪明的女生； (3)某校高一(1)班学生家长；(4)某校高一(1)班经常体育锻炼的学生. 分析：根据集合的定义判断特性所描述的对象是否确定，若对象确定，则他们可以构成集合；反之，则不能构成集合.解：(1)由于“某校高一(1)班的女生”所描述的对象是确定的，所以，某校高一(1)班的女生可以构成集合.(2)由于“某校高一(1)班比较聪明的女生”所描述的对象不确定，所以，某校高一(1)班比较聪明的女生不能构成集合.(3)由于“某校高一(1)班学生家长”所描述的对象是确定的，所以，某校高一(1)班学生家长可以构成集合.(4)由于“某校高一(1)班经常体育锻炼的学生”所描述的对象不确定，所以，某校高 一(1)班经常体育锻炼的学生不能构成集合.点评：判断某种对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个元素，都确定它是不是给定集合的元素. 例2 用“∈”或“∉”符号填空：(1)3.14 N ； (2)π R ； (3)2 N ； (4)3 Q ；(5)sin450 R ； (6)cos450Z ； (7)49 Q ； (8)3 {(2，3)}.分析：首先了解常用数集符号表示方法，而后判断“数”是否是集合中的元素，最后填写符号“∈”或“∉”.解：(1) 3.14 ∉N ； (2)π∈R ； (3)2∈N ； (4)3 ∉Q ；(5)sin450∈R ； (6)cos450∉Z ； (7)49∈Q ； (8)3 ∉{(2，3)} .点评：判断元素与集合的关系，必须先确定集合是由什么元素组成，然后再判断所给对象是否是集合中的元素.例3 用适当的方法表示下列集合：(1)由15的正约数组成的集合； (2)能被3整除的整数；(3)方程0322=--x x 的解； (4)直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点.解：(1)因为15的正约数为1，3，5，15，所以15的正约数组成的集合用列举法表示为{1，3，5，15}. (2)用描述法表示为{}Z n n x x ∈=,3.(3)用列举法表示为{-1，3}.(4)用描述法表示为{}R x x y y x ∈=,),（.点评：(1)列举法表示集合时,要符合互异性，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的顺序无关.列举法一般适用于元素不多的有限集.(2)描述法表示集合时要符合确定性，元素x 满足的条件p(x)要表达准确.描述法适用于元素比较多的有限集或无限集. 例4 用列举法表示下列集合：(1)；为非零实数},,|||||{b a bb a a x x A +== (2) },36|),{(*N x Z xy y x A ∈∈-==. 解：(1)根据绝对值的定义化简bb a a x ||||+=, 当0,0>>b a 时, 2=x ； 当0,0<<b a 时, 2-=x ；当b a ,异号时, 0=x .所以}2,0,2{-=A . (2)根据元素x 满足的条件Z x∈-36且*N x ∈得到x 的值. x 所取的正整数必须使得x -3整除6,所以6,3,2,13±±±±=-x ,.9,3,6,0,5,1,4,2-=x 因为*N x ∈所以.9,6,5,4,2,1=x所以 )}1,9(),2,6(),3,5(),6,4(),6,2(),3,1{(----=A .点评：用列举法表示集合时，要把元素不重复、不遗漏、不计顺序的全部列出来. 例5 已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求实数a 的值.分析： A ∈1，则33,)1(,222++++a a a a 均有可能为1，则需分类讨论解决，且必须检验是否满足集合中元素的互异性.解：(1)若12=+a 则1-=a ；此时，}1,0,1{=A 与集合中元素的互异性矛盾，(舍去)； (2)若1)1(2=+a ，则0=a 或2-，当0=a 时}3,1,2{=A ，满足题意；当2-=a 时，}1,1,0{=A 与集合中元素的互异性矛盾，(舍去)；(3)若 1332=++a a 则1-=a (舍去)或2-=a (舍去)．综上所述，0=a ，此时集合}3,1,2{=A .点评：本题易错原因：忽视元素的互异性.在解决集合问题时常用分类讨论思想，需要弄清“为什么要分类”、“按什么分类”和“怎样进行分类”.例6 已知集合{}1,1,12A x x =++，集合{}21,,B y y =，且A B =，求实数x 和y 的值.分析：求未知数x y 和的值，常需要用解方程的方法，根据集合相等，可列出方程组.解：∵A B =，∴(Ⅰ)21,12;x y x y +=⎧⎨+=⎩或(Ⅱ)21,12.x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 解方程组(Ⅰ)，得0,1.x y =⎧⎨=⎩检验知不合题意，舍去.解方程组(Ⅱ)，得3,0,41 1.;2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩或检验知0,1.x y =⎧⎨=⎩不合题意，舍去. 综上所述，31,42x y =-=-. 4. 自我检测(1)以下元素的全体不能够构成集合的是 .①中国古代四大发明； ②地球上的小河流； ③方程210x -=的实数解； ④周长为10cm 的三角形.(2)方程组{23211x y x y -=+=的解集是 .(3)给出下列关系：①12R ∈； ②2Q ∈；③ *3N ∈；④0Z ∈. 其中正确的个数是 .(4)下列各组中的两个集合M 和N, 表示同一集合的是 .①{}M π=, {3.14159}N =； ②{2,3}M =, {(2,3)}N =； ③{|11,}M x x x N =-<≤∈, {1}N =； ④{1,3,}M π=, {,1,|3|}N π=-. (5)已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是 . (6)已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 . 三、 课后巩固练习A 组1．判断下列特性描述的对象能否形成集合： (1)算术平方根等于自身的数；(2)高一(1)班1988年出生的学生； (3)与一个角的两边距离相等的点； (4)难解的题目.2．分别写出下列集合中的元素: (1){中国的直辖市)；(2){大于0且小于5的整数的平方}； (3){大于10且小于20的合数}； (4){既是质数又是偶数的整数}； (5){大于10且小于20的质数}； (6){方程020*******=+-x x 的解}； (7){24和36的正公因数}； (8){江苏省的省辖市}． 3．用“∈”或∉号填空： (1)若}78,76,54{=A 则3649A ； (2)若B={小于10的质数}，则3B ； (3)若},102|{<<-∈=x Z xC 则5.5 C ； (4)若},9|{2≤∈=x N xD 则8 D ； (5)(){}22,2450M x y xy x y =++-+=，则数对()1,2- M .4．下面七个命题：(1)集合N 中的最小元素是1：(2)若a N -∉，则a N ∈ (3)244x x +=的解集为{2，2}；(4)0.7Q ∈；(5)方程()()()31250x x x -+-=的解集中含有3个元素；(6)0∈∅；(7)满足1x x +>的实数的全体形成的集合为R .其中正确命题是 ；不正确命题为 .5．下列命题(1){}200x ∈=；(2)(){}00,0∈；(3)0∈∅；(4)0N ∈中表述正确的是 .6．下列命题(1){}0=∅；(2){}{}1,22,1=；(3)0N ∉中表述正确的是 .7．用列举法表示不等式组240121x x x +>⎧⎨+≥-⎩的整数解集为 .8．在实数范围内，方程062=-+x x 的解集是 ；方程012=++x x 的解集是 .9．设集合M ={正方形}，T ={能被7整除的数},P ={比2大3的数}，H ={大于1且小于2的有理数}，其中无限集为 .10．下列每一题中各个集合的意义是否相同？并说明理由．(1){1,5},{(1,5)},{5,1},{(5,1)}; (2){|0},{(,)|0,}x x x y x y R ==∈.11．已知1212{|,,0},{|,,0}A x Q x Z x B y Z y Z y x y =∈∈==∈∈=//. (1)试判断集合A 、B 是有限集还是无限集； (2)试判断21,8,1-是否是这两个集合的元素． 12．已知集合}5|{>=x x p ，则以下结论中正确的是 (1)2P ∈且3P ∈；(2)2P∈但3P ∉；(3)2P ∉但3P ∈；(4)2P ∉且3P ∉.B 组13．集合{有长为2的边和40度的内角的等腰三角形}的元素个数为 . 14．已知集合12,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭用列举法表示集合A 为 . 15．下列四个集合中表示空集的是 (1){0}；(2){(x ,y )|y 2=-x 2,x ∈R ，y ∈R }； (3){x ∈N |2x 2+3x -2=0}.16．若集合}01|{2=++x ax x 有且只有一个元素，则实数a 的取值集合为 . 17．数集},{2a a a -中实数a 的取值范围是 . 18. 用列举法表示下列集合： ⑴{(x ,y )|x +y =5, x ∈N ，y ∈N }； ⑵{(x ,y )|y =x 2-1, |x |≤2，x ∈Z }.19．直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为 . (1){(x ,y )|x =0, y ≠0或x ≠0，y =0}；(2){(x ,y )|x =0且y =0}； (3){(x ,y )|xy =0}；(4){(x ,y )|x ,y 不同时为0}.20．若},0|{2},0|{122=++∈=++∈b ax x x b ax x x 求b a ,的值.21. 设b a ,均为整数，把形如5b a +的一切数构成的集合记作M ，设M y x ∈,，试判断yxxy y x y x ,,,-+是否属于集合M ，并说明理由.C 组22．已知集合241x A a x x a⎧⎫-⎪⎪==⎨⎬+⎪⎪⎩⎭关于的方程有惟一解，用列举法表示集合A 为 .23．集合},,|{},22,|{2A x x y y B x Z x x A ∈==≤≤-∈=用列举法表示集合B ． 24．设{}{}2,y x ax b A x y x a =++===，求,a b . 25. 已知集合{}2210,A x ax x x R =++=∈，a 为实数. (1)若A 是空集，求a 的取值范围； (2)若A 是单元素集，求a 的值；(3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．26．已知集合}{Z n Z m n m x x A ∈∈-==,,22，求证：(1)3A ∈；(2)()21,k A k Z +∈∈(3)偶数()42k k Z -∈不属于A .知识点 题号 注意点集合的概念集合是不定义的原始概念，通过举例进行辨析；会用适当的方法表示集合；分类讨论思想在集合中有重要应用. 集合的表示注意列举法、描述法、Venn 图各自的特点.元素与集合、集合与集合的关系分清元素与集合、集合与集合的属于关系和包含关系综合题用分类讨论思想四、 学习心得五、 拓展视野罗素悖论十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击.但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉.数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦.因而集合论成为现代数学的基石.“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉.1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”可是，好景不长.1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国著名数学家伯特兰·罗素（Russel ，1872—1970）提出的著名的罗素悖论：把所有集合分为两类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，令第一类所组成的集合为P ，第二类所组成的集合为Q ，于是有：P ={A ∣A ∈A }，Q ={A ∣A ∉A } 问，Q ∈P 还是 Q ∈Q ？ 罗素悖论还有一些较为通俗的版本，即理发师悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人.可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸.罗素悖论提出，危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案.人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则.“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来.”公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机.但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响.有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题.它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的.人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果.如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它.而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生.数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧，而罗素悖论在其中起到了重要的作用.。