x0
x
因此必然有
f ( ) 0
3.1.2 拉 格 朗 日 中 值 定 理
设函数 f (x)在区间[a,b]上的图形 是一条连续光滑的曲线弧 AB ，显
B
y C
然 f (b) f (a) 是连接点A(a, f (a)) ba
和点B(b, f (b))的弦AB 的斜率，如
图 所示，容易看出，在(a,b)内至少
l：y f (a) f (b) f (a) (x a). ba
而与曲线有关的直线应 该是每点处的切线 . 我们来看看曲线的切线 与直线 l 存在什么样的关系 ?
y
T 与 l 平行
(b, f (b))
T
y f (x) l
(a, f (a))
y f (a) f (b) f (a) (x a) ba
下定理——罗尔（Rolle）定理。
y
C
A
B
定理1 设函数 f (x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3） f (a) = f (b) .
o aξ
bx
则在(a,b)内至少存在一点ξ ，使得 f ( ) 0 (a b).
证 因 f (x)在闭区间[a,b]上连续所以在[a,b]上一定取到最大值M 和最小值m。
这样的可能有好多
O
a
bx
Made by Huilai Li
f (b) f (a) f ( ) ( (a, b)).
ba
f (b) f (a) f ( )(b a)
在区间 [x, x x] 上应用拉各朗日中值定理时，
结论可以写成
f (x x) f (x) f ( )x (x x x)
o
x
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2 函数的极值及其求法
定义:
在其中当
时,
(1)
则称 为
的极大值点 ,
称
为函数的极大值 ;
(2)
则称 为
的极小值点 ,
称 为函数的极小值 . 极大值点与极小值点统称为极值点 .
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解: (1) n 为正整数的情形.
原式
lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
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说明:
1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如,
用洛必达法则
而
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2) 若
f (x) lim
由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。
推论1 若函数 f (x)在(a,b)内任意点的导数 f (x) 0 ，则 f (x)
在(a,b)内是一个常数。 证 在(a,b)内任意取两点 x1，x2，不妨设 x1< x2，显然 f (x)在
[a,b]上连续，在(x1，x2)内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一 点ξ∈ (x1，x2) ，使得
第三章
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3.1.4 罗必达法则
一 两个无穷小量之比的极限 （ 0 型） 0
x x 定理：设（1）
lim
xx0
f
(x)
0, lim xx0
g(x)
0
（2）在点 0 的某邻域内（点 0本身可以
除外），f (x) 及 g(x) 存在且 g(x) 0
则有
（3） lim f (x) xx0 g(x)
0
故
这说明 在 I 内单调递增.
证毕
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例1. 确定函数
的单调区间.
解: f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2)
令 f (x) 0 , 得 x 1, x 2
x (,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
f (x)
0 0
f (x)
2
1
为证明等式成立，我们作辅助函数 F (x) f (x) f (a) f (b) f (a) [g(x) g(a)] g(b) g(a)
显然F (x)满足罗尔定理的三个条件，因此，在(a,b)内至少存在一点
ξ，使得 F( ) 0，即
f ( ) f (b) f (a) g( ) 0 (a b)
x0
解: 原式
lim
x0
ln x xn
1
lim
x0
n
x
xn1
lim ( xn ) 0 x0 n
0 型
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0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例6. 求 lim (sec x tan x).
x2
型
解: 原式 lim ( 1 sin x ) lim 1 sin x x2 cos x cos x x2 cos x
(3) g(x) 0
则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得
f (b) f (a) f ( ) (a b) g(b) g(a) g( )
证 先用反证法证明g(b) － g(a)≠0，若不然，即有g(b) = g(a). 则由罗尔定理知，至少存在一点x0∈ (a,b)，使得g(x0 ) 0 ，此与条 件(3)矛盾，故有g(b) － g(a)≠0。
y
故
的单调增区间为 (, 1), (2, );
2 1
的单调减区间为(1, 2).
o 12 x
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说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
o
x
y
y x3
(1)若M = m则 f (x)在[a,b]上是常数；
f (x) = M， x∈ [a,b]
从而 f (x) 0，因此，任取ξ ∈ (a,b)都有 f ( ) 0
(2)若M ≠ m ，则M , m中至小有一个不等于 f (a) ，不妨设 f (a) ≠ M 。因此，函数 f (x)在内(a,b)某一点ξ处取到最大值M 。我们来证
f (x) g(x),
x (a,b)
则在(a,b)内， f (x)与g(x)最多相差一个常数，即
f (x) g(x) c, x (a,b)
其中c为常数。 事实上，因为[ f (x) g(x)] f (x) g(x) 0, x (a,b)，由
推论1可知
f (x) g(x) c, x (a,b)
lim cos x x2 sin x
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0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例7. 求 lim xx.
x0
00 型
解: lim xx lim exln x
x0
x0
利用 例5
e0 1
例5 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
洛必达法则
型
f
g
1 g
1 f
g(b) g(a) 即
f (b) f (a) f ( ) (a x) g(b) g(a) g( ) 注 容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理当 g (x) = x时的 一个特殊情况。柯西定理的一个直接应用是证明下面的洛必达法则。
第二节 洛必达பைடு நூலகம்则
一、0 型未定式
0
二、 型未定式 三、其他未定式
1 g
1 f
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
令 y fg
取对数
0 型
f
g
f
1
g
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思考与练习
1. 设
lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
说明 目录 上页 下页 返回 结束
存在一点ξ使A弧B 上的点C(ξ, f (ξ))
A
o aξ
b
x
图
的切线与弦AB 平行。
由上述的讨论，我们可以得到如下定理——拉格朗日（Lagrange） 中值定理。
定理2 设函数 f (x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
则在(a,b)内至少存在一点ξ ，使得
ba
显然 (x) 在上[a,b]连续，在(a,b)可导，且
(x [a, b])
(a) (b) 0
于是由罗尔定理，至少存在一点ξ ∈ (a,b) ，使得
( ) f ( ) f (b) f (a) 0
ba
即
f (b) f (a) f ( ) ( (a, b)).
ba
已知条件是 y f（x），x [a,b]. 因此，可得到一条过曲 线两个端点的直线
自证: arctan x arccot x , x (, )
2
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3.1.3 柯 西 中 值 定 理
作为拉格朗日定理的推广，我们证明如下柯西定理： 定理3 设函数 f (x) 和 g(x) 满足条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导；
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) 由条件知 f ( ) 0，从而f (x2) － f (x1) = 0。即 f (x2) = f (x1)。由 x1，x2