同济大学高等数学一、求下列极限1、sin ()lim x x x →−−22111；解一：()()12sin 1cos 1lim 02x x x x→−−==原式解二：()()11sin 1sin 1lim lim11x x x x x x →→−−==−+原式2、lim sin x x x →2203解一：00021311lim lim lim 6sin3cos39sin3cos39x x x x x x x x x →→→==⋅=原式解二：sin 3~30021limlim 6sin 3cos 39cos 39x xx x x x x xx x →→===原式3、20tan 2lim sin 3x x xx →解：()2tan 2~2,sin3~3222lim93x x x xx xx →=原式=4、0lim ln(1)x x x →+解一：()001lim lim 1111x x x x→→==+=+原式解二：()1011lim1ln ln 1x xex →===+原式5、2lim xx x x →∞−⎛⎞⎜⎟⎝⎠解一：()2222lim 1xx ex −⋅−−→∞⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠原式解二：()1211ln 2ln 22limlim ln2lim22lim x x x x xx x x x xx xx x x eeeee−−→∞→∞→∞−−−−−−→∞−−−=====原式6、()111lim 32x x x −→−解一：()()112220lim 12t x tt t e=−−−−→=−=令原式解二：1(2)221122221lim[1(22)]{lim[1(22)]}xx x x x x e−−→−−−→=+−=+−=i 原式7、30sin lim x x x x →−解：2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→−===原式8、111lim ln 1x x x →⎛⎞−⎜⎟−⎝⎠解：111111ln 11lim lim lim 1(1)ln ln 1ln 11lim ln 112x x x x x x x x x x x x x x x xx →→→→−−+−===−−+−+−==−++原式9、12lim 22n n n n →∞+++⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠⋯解：()()221122lim lim22221lim 422n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎞+⎜⎟+−−=−=⎜⎟++⎜⎟⎝⎠−==−+原式10、329sin limx x t dtx →∫解：26686003sin 1sin 1lim lim 933x x x x x x x →→===原式11、arctan limx x tdt →+∞。

()122arctan limlim arctan 1122lim arctan lim 122x x x x xx x x x ππ→+∞→+∞−→+∞→+∞==+⋅=⋅=⋅=解：原式二、求下列导数或微分1、设4tan 1y x x x =−+，求dy 解一：dy y dx′=()324tan sec x x x x dx=−−解二：()34tan tan dy xdx xdx xd x =−+()32324tan sec 4tan sec x dx xdx x xdx x x x x dx=−−⋅=−−2、设21cos xy x =+，求y ′()()()()()222ln 21cos 2sin 1cos 2sin cos ln 2ln 2 1cos xxxx x y x x x x ⋅+−−′=++⋅+=+解:3、设51log sin y x =，求y ′()221cos111cos 11ln 5sin ln 5sin x y x x x x x−′=⋅⋅−=−⋅⋅解 4、设ln(y x =+，求y ′′()()()()12212233222211122111212y x xxy x x x x−−−−⎛⎞′/=⋅++⋅⎜⎟/⎝⎠=⋅=+′′=−+⋅=−+解：5、设lnx y y=+，求dydx111yy y yy y′′′=+⋅∴=+解：6、设sin()0xye xy+=，求dydx()()()()()cos0coscosx xxxy e ye xy y xyy e xyye x xy′′++⋅+=+′∴=−+解7、设arctanxy t⎧⎪=⎨=⎪⎩，求1tdydx=()()122212211111122 2t t dytdx t t t dy dx −−=++==+⋅∴=解8、设2ln(1)arctan x t y t t ⎧=+⎨=−⎩，求22d y dx 222222111122112121421dy t t dx t t t d d y t dt dx dx t t dt t−+==⋅+⎛⎞⎜⎟⎝⎠+∴===⋅+解9、设()tan (0)xy x x =>，求y ′()22tan ln 2ln tan ln 11sec ln tan 1sec ln tan secln tan x xy x x y x x x y x y y x x x x ex x x x x=′=⋅+⋅⎛⎞′=⋅+⋅⎜⎟⎝⎠+=解：10、设y =，求y ′()()()()()()()()()451ln ln 24ln 35ln 12114522311452231314524311y x x x y y x x x y y x x x x x x x x =++−−+′=−−+−+⎛⎞′=−−=⎜⎟⎜⎟+−+⎝⎠−⎛⎞−−⎜⎟+−+⎝⎠+解11、设23sin xt x dt y e =∫，求y ′32226sin 0sin 2 cos 3xx tt xx y e dt e dty ex x e=−′∴=−∫∫解12、设31sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，求()f x ′()()()()323223002020111(sin 3sin cos 11 3sin cos01sin 000lim lim1 lim sin 0113sin cos ,00,0x x x x y x x x x x x xx x x xx x f x f x y x xx x x x x y x xx −∆→∆→∆→≠′′==+⋅−=−=∆+∆−∆′==∆∆⎛⎞=∆=⎜⎟∆⎝⎠⎧−≠⎪′∴=⎨⎪=⎩解，，三、求下列积分1、xe dx−∫()xxe d x e c−−=−−=−+∫解：原式2、2xx e dx∫()22ln 2 21ln 2xx xx e e dx c e e c⎛⎞⎜⎟⎛⎞⎝⎠==+⎜⎟⎛⎞⎝⎠⎜⎟⎝⎠=+−∫解：原式3、csc dxx ∫1sin cos xdx x c==−+∫解：原式4、2x xe dx∫2221122x x e dx e c==+∫解：原式5、3(ln )x dx x∫()()341ln ln ln 4x d x x c==+∫解:原式6、x xdxe e −+∫()22arctan 11xxxxx ededx e c e e ===+++∫∫解：原式7、421xdxx +∫222223223(1)[]1111111 1311arctan 3x x x x x x dx dx x x x x x x x dx dx dx dxx x x x x x c+−+=−++++−+=−=−++++=−++∫∫∫∫∫∫42222222解：原式=8、sin x xdx∫(),()sin ,()1,()cos ()()()()cos cos cos sin u x x v x x u x v x x u x v x u x v x dx x x xdx x x x C′′====−′−=−−−=−++∫∫解一：令原式=cos cos cos cos sin udv uv vduxd x x x xdx x x x c=−=−=−+=−++∫∫∫∫解二：利用原式9、353cos x xdx−∫55()cos()cos 0x x x x −−=−∴=解:因原式10、1ln e ex dx∫[][][][]()111111111111111ln ln ln ln ln ln 1111(ln 1ln )ln ln 11112112eeeeeee eeexdx xdxx x xd x x x xd xx dx e e x dxe ex xe x x e e e e e e =−+=−++−=−−+⋅+−−⋅⎛⎞=−+−=−+−−−=−⎜⎟⎝⎠∫∫∫∫∫∫解：原式11、94dx ∫2332233332222332322233222222112(1)22222111221 []2(1)11 94[2]2[ln |1|]ttt t t tdt dtt t t t t t dt dt tdt dtt t t t t dt d t t t t t −+⋅=−−−−+=+=+−−−−=++−−−=−++−∫∫∫∫∫∫∫∫解：原式 5642ln 22ln172ln 2=+−+−=+12、121dx x−∫()[]sin 22224422244cos cos cot sin csc 1cot 11244x tt tdt tdt tt dt t t πππππππππππ==⋅==−=−−=−++=−∫∫∫令解：原式13、dx x∫3sin ,(,)222222cos cos (3csc cot )3sin 3cot 3(csc 1) 3cot 33sin ,cos ,cot ,3t t x tt t t dt dt ttdt t dtt t ct t t xxππ=∈−===−=−=−=−−=++===∫∫∫∫∫∫∵解：原式3 3arcsin cx∴++14、127(1)x x dx−∫()()()()1012727101109819870112121211210981098360x tt t dt t t t dtt t t t t t dt −==−⋅−=−+⎡⎤=−+=−+=−+=⎢⎥⎣⎦∫∫∫解：原式15、320sin sin xdxx cosxπ+∫()33220332200332202200sin co s ,sin co s sin co s 21sin co s 2sin co s sin co s 1sin co s 11sin co s 2sin co s 21sin 2co s 22428xx d x d x x t x xx x x xd x d x x xx x x x d x x x d xx x x x x d x πππππππππ⎛⎞==−⎜⎟++⎝⎠⎛⎞=+⎜⎟++⎝⎠+==−+⎛⎞⎡⎤=−=+=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫∫∫∫∫∫∫∵解：令原式co s 14884πππ⎛⎞++=⎜⎟⎝⎠注：上题答案有误，应为（π-1）/4四、微分和积分的应用1、列表讨论下列函数的单调性、凹凸性、极值、拐点：(1)3229123y x x x =−+−；261812,1218y x x y x ′′′=−+=−解：301,.0y x x y x ′′′=⇒==⇒=由或=2由()21=f ⎟⎠⎞⎜⎝⎛23,23()12=f 3229123y x x x ∴=−+−在区间(,1)(2,)−∞+∞，上递增；在区间[1,2]上递减。