辽宁省重点高中协作校第三次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}|12,|2A x x B x x =<-≤=>-，则A B =U ( ) A ．()-2-1，B ．(]-2-1，C ．[)-4+∞，D ．()-4+∞，2.若复数1532iz i+=+，则z =( ) A ．1B ．2C ．3D ．23.已知R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，2()l o g (1)fx x =-，则((7))f f =( ) A ．1B ．-1C ．-2D ．24.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比列如下图所示，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该学校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是( )A ．12B ．15 C. 20 D ．215.已知等差数列{}n a 中，101020173,2017a S == ，则1012a =( ) A ．1 B ．3 C.5 D ．76.已知实数,x y 满足42047020x y x y x y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则5z x y=-+的最大值与最小值之和为( ) A ．-21 B ．-1 C.-2 D ．17.将函数1()cos 22f x x =-的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则3()4g π=( )A ．32B ．32-C.12-D ． 8.下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”.已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值.执行程序框图，则输出的n =( )A ．62B ．59 C.53 D ．509.已知三棱锥P A B C -中，A B ⊥平面APC ,42,2A B P A P C ===，2A C =，则三棱锥P A B C -外接球的表面积为( )A ．28πB ．36π C.48π D ．72π10.某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为( )A ．42083π+B ．42163π+ C.322083π+ D ．322163π+ 11.已知双曲线2222x :1(0,0)y C a b a b -=>>的离心率23e =，对称中心为O ，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，,A O F O A F O A F ∠=∠∆的面积为3则双曲线C 的方程为( )A ．2213612x y -=B ．2213x y -= C. 221124x y -= D ．22193x y -=12.设实数0m >，若对任意的x e ≥，不等式2l n 0mxx x m e -≥恒成立，则m 的最大值是( )A ．B ． C.e D ．2e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(,0),(1,3)a t b ==-，若4a b =g ，则2a b -= ．14.若251(3)(2)x a x x--的展开式中3x 的系数为80，则a = ． 15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为nS，且362728S S =，则543a a a =-． 16.已知抛物线2:2(0)C x p y p =>的焦点为,F O 为坐标原点，点(4,),(1,)22pp M N --- ，射线,M ON O 分别交抛物线C 于异于点O 的点,A B ，若,,A B F 三点共线，则p = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在A B C ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知s i n c o s s i n c o s s i n b A C c A B a c B +=.(1)证明：bc a = ； (2)若13,cos 6c C ==，求A C 边上的高. 18.2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中,中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌,也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则,运动员自出发点出发进入滑行阶段后,每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口(1,2,3,4)kA k =.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为,摔倒的概率均为.假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行,现在用X 表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈内已经顺利通过的交接口数.(1)求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率； (2)求X 的分布列及数学期望()E X .19.如图，在高为4的正三棱柱111A B CA B C -中，3,A B M =为棱A B 的中点，,,D E F 分别为棱1111,,A BB B A A 上一点，且11,A D A FM E B D ==⊥. (1)证明：B D ⊥平面C E M ； (2)求直线B D 与平面CF M 所成角的正弦值.20.已知椭圆2212:1(0)8x y C b b+=>的左、右焦点分别为12,F F ，点2F 也为抛物线22:8C y x =的 焦点.(1)若,M N 为椭圆1C 上两点,且线段M N 的中点为()1,1,求直线M N 的斜率；(2)若过椭圆1C的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于,A B 和,C D ,设线段,A B C D 的长分别为,m n ，证明11m n+是定值. 21.已知函数32()6(,)f x x x a x b a b R =-++∈的图象在与x 轴的交点的切线方程为918y x =-. (1)求()f x 的解析式； (2)若21(2)()910k xx f x x k -<<+对(2,5)x ∈恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数），曲线C 的极坐标方程为2c o s 8s i n ρθθ=. (1)求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； (2)若直线与曲线C 的交点分别为,M N ，求M N . 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|5||3|f xx x =--+. (1)解关于x 的不等式()1f x x ≥+ ； (2)记函数()f x 的最大值为m ，若440,0,a b a b mabe ee ->>=g ，求a b 的最小值.辽宁省重点高中协作校第三次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CBDAD 6-10: BACBA 11、12：DC二、填空题13.()2,6-- 14.-2 15.16- 16.2 三、解答题17.（1）证明：因为s i n s i n c o s s i n s i n c o s s i n s i n B A C C A B c A B +=， 所以s i n c o s s i n c o s s i n B C C B c B += ， 所以s i n s i n A c B = ， 故a bc =. (2)解：因为3,c a b c==， 所以221093,c o s 6b a b C b-==. 又1c o s 6C =，所以22109166b b -=，解得1b =， 所以3,1a cb ===，所以A C . 18.解：(1)由题意可知：33127()44256P =⨯=. (2)X 的所有可能值为0,1,2,3,4.则3()(1,2,3,4)4k P A k ==，且1234,,,A A A A 相互独立.故11(0)()4P X P A ===，12313(1)()4416P X P A A ===⨯=g ， 2123319(2)()()4464P X P A A A ==⨯=gg ， 312343127(3)()()44256P X P A A A A ===⨯=g g g ， 41234381(4)()()4256P X P A A A A ====ggg .19.(1)证明：在正三棱柱111A B C A B C -中， 1A A ⊥平面ABC ，则1A A C M⊥， ,A CB C M=Q 为A B 的中点，C M A B ∴⊥. 又1,A A A B A C M =∴⊥I 平面11ABB A ，C M B D ∴⊥. ,,M E B D M E C M M B D ⊥=∴⊥Q I平面C E M . (2)解：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C x y z - ，则331(0,0,0),0,),,),,0),,4)222C --. 易得3,1),0,0)2C F C M -u u u r u u u u r , 设平面C F M 的法向量为(,,)n xyz =， 则30,20C F n x y z C M n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩u u u r g u u u u r g取3z =，则(0,2,3)n =. (0,2,4)B D =-u u u rQ ， 直线B D 与平面C F M 所成角的正弦值为||465|c o s ,|||||1320n B n B D n B D ===⨯u u u ru u u r g u u u r .20.解：因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =， 所以椭圆22:184x y C += (1)设()()1122,,,M x yN x y ，则221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，又M N 的中点为()1,1，所以12122,2x x yy +=+=. 所以212112y y x x -=--.显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线M N 的斜率为12-. (2)椭圆右焦点2(2,0)F .当直线A B 的斜率不存在或者为0时，11mn +当直线A B 的斜率存在且不为0时，设直线A B 的方程为(2)yk x =-, 设()()1122,,,A x yB x y ，联立方程得22(2),28,y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 消去y 并化简得2222(12)8880k xk x k +-+-= ， 因为22222(8)4(12)(88)32(1)0k k k k ∆=--+-=+>， 所以2212122288(1),1212k k x x x x k k-+==++.所以221)12k k+=+.同理可得n =所以2222112()11k k m k k ++++++.21.解：(1)由9180x -=得2,x =∴切点为(2,0). 2'()312fx x x a =-+Q ，3226,()62126b f x x xx ∴=-=-+-. 又(2)82420f a b =-++=，3226,()62126b f x x xx ∴=-=-+-. (2)由()9f x x k<+得32()961226k f x x x x x >-=-+-， 设32()61226g xx x x =-+-，22'()3(44)3(2)0g xx x x =-+=->对(2,5)x ∈恒成立， ()g x ∴在()2,5上单调递增，(5)9k g ∴≥=. 323()61289(2)9(2)f x x x x x x =-+-+-+-Q ， ∴由21(2)()10k x x f x -<对()2,5x ∈恒成立得2129132110(2)2x x k x xx x x--<+=+--对()2,5x ∈恒成立，设2132()1(25)2xhx x x x -=+<<-，2221313'()(2)x x h x x x -+=-， 当25x <<时，213130x x -+<，'()0,()h x h x ∴<∴单调递减，16(5)105k h ∴≤=，即12k≤. 综上，k 的取值范围为[]9,12. 22.解：(1)因为2c o s 8s i n ρθθ=，所以22c o s 8s i n ρθρθ=， 即28x y =，所以曲线C 表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线.(2)直线过抛物线的焦点()0,2，且参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数）， 代入曲线C的直角坐标方程，得200t -=，所以121220t t t t +=-. 所以|0M N tt ==. 23.解：(1)当3x ≤-时，由531x x x -++≥+，得7x ≤， 所以3x ≤-；当35x -<<时，由531x x x ---≥+ ，得13x ≤， 所以133x -<≤； 当5x ≥时，由531x x x ---≥+ ，得9x ≤-，无解.综上可知，13x ≤，即不等式()1f x x ≥+的解集为1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. (2)因为|5||3||53|8x xx x --+≤---=， 所以函数()f x 的最大值8m =.因为448a b a b e e e-=g ，所以448a b a b +=-. 又0,0a b >>，所以+，所以480a b -≥，即20-≥.所以有)20-≥.0>2,4a b ≥≥，即a b 的最小值为4.。