高中数学竞赛模拟试题（一）一、选择题：1.设集合}5,4,3,2,1{},1,0,2{=-=N M ，映射N M f →:使得对任意的M x ∈，都有)()(x xf x f x ++是奇数，则这样的映射f 的个数是 （ A ）（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）11提示：当2-=x 时，)2(2)()(---=++f x xf x f x 为奇数，则)2(-f 可取1、3、5，有3种取法；当0=x 时，)0()()(f x xf x f x =++为奇数，则)0(f 可取1、3、5，有3种取法；当1=x 时，)1(21)()(f x xf x f x +=++为奇数，则)1(f 可取1、2、3、4、5，有5种取法。

由乘法原理知共有45533=⨯⨯个映射。

2.设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知0)()2(=-⋅-+，则△ABC 的形状是 （ A ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）等边三角形 提示：+=++=-+22.3.设函数xbax x g x x f +==)(,ln )(，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当1>x 时，)(x f 与)(x g 的大小关系是 （ B ）（A ）)()(x g x f >（B ）)()(x g x f <（C ）)()(x g x f =（D ）)(x f 与)(x g 的大小不确定 提示：)(x f 与)(x g 的图象在x 轴上有公共点)0,1(，∴0,0)1(=+=b a g 即.∵x x f 1)('=,2')(xb a x g -=,由题意1,1)1()1(''=-==b a g f 即,∴.21,21==b a 令)2121(ln )()()(x x x x g x f x F --=-=,则0)11(2121211)(22'≤--=--=xx x x F∴)(x F 在其定义域内单调递减.由∵0)1(=F ,∴当1>x 时,0)(<x F ,即)()(x g x f <.4.设AB 是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB 的垂线，交椭圆的上半部分于P 1、P 2、… 、P 99 ，F 1为椭圆的左焦点，则21111P F P F A F +++…B F P F 1991++的值是 （ D ）（A ）a 98 （B ）a 99 （C ）a 100 （D ）a 101提示：（方法一）由椭圆的定义知a P F P F i i 221=+(99,,2,1Λ=i )，.198992)(99121a a P F P F i i i =⨯=+∴∑=由题意知9921,,,P P P Λ关于y 轴成对称分布，.99)(21)(991219911a P F P F P F i i i i i =+=∴∑∑==又a B F A F 211=+Θ，故所求的值为a 101.（方法二）21111P F P F A F +++…B F P F 1991++Λ++++=)()(1ex a ex a A )()(99B ex a ex a ++++.101)(1019921a x x x x x e a B A =+++++=Λ（A,9921,,,P P P Λ,B 关于y 轴成对称分布）5.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，过顶点A 1在空间作直线l ，使直线l 与直线AC 和BC 1所成的角都等于600，这样的直线l 可以作 （ B ） （A ）4条（B ）3条（C ）2条（D ）1条提示：易知异面直线AC 与BC 1所成的角为600，因此，本题等价于：已知直线a 与b 所成的角为600，则过空间一点P 且与a 、b 所成的角都是600的直线有且仅有多少条？这不难可判断有3条。

6.12)526(++n 的小数表示中，小数点后至少连续有 （ A ）（A ）12+n 个零（B ）22+n 个零（C ）32+n 个零（D ）42+n 个零提示：由二项式定理知易证Z n n ∈--+++])526()526[(1212，因此12)526(++n 与12)526(+-n 的小数部分完全相同。

10152615260<+<-<Θ，1212)101()526(0++<-<∴n n ，即12)526(+-n 的小数表示中小数点后面至少接连有12+n 个零，因此，12)526(++n 的小数表示中，小数点后至少连续有12+n 个零。

二、填空题：7.已知02sin 2sin 5=α，则)1tan()1tan(00-+αα的值是_____________________.【答案】23-.提示：弦切变换,构造齐次式解题. )]1()1sin[(]1()1sin[(50000αααα-++=-++ )1sin()1cos(6)1cos()1sin(40000-+-=-+⇒αααα.8.乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________________.【答案】85. 提示：（方法一）打完5局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某个人任意胜3局，另一个人胜2局，其概率为8521121233512=-⋅）（）（C C . （方法二）打完5局后能结束比赛的情况是：甲、乙两人中任意某个人任意胜4局或5局全胜，其概率等于83])21()211()21([55544512=+-⋅C C C ，所以，打完5局后仍不能结束比赛的概率等于85831=-. 9.不等式92)211(422+<+-x x x 的解集为_______________________.【答案】)845,0()021[⋃-，.提示：原不等式等价于)21222()92(42x x x x +-+⋅+< 设t x =+21，则10≠≥t t 且，122-=t x ，从而原不等式可化为271108)1(10)8()1()1(10222222<<<≤⇔⎪⎩⎪⎨⎧+<+≠≥⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-<-≠≥t t t t t t t t t t t 或. 10.把半径为1的4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为_______________. 【答案】261+.提示：4个小球在大球内两两相切，4个小球的球心连线构成1个正四面体，正四面体的中心与大球的球心重合，大球的半径等于正四面体的外接球半径加上小球的半径，所以大球半径为261124613643143+=+⨯=+⋅⨯=+a h .(其中,h 表示正四面体的高,a 表示正四面体的棱长.)11.设200221,,,a a a Λ均为正实数，且21212121200221=++++++a a a Λ，则200221a a a ⋅⋅⋅Λ的最小值为____________________. 【答案】20024002. 提示：令i ix a =+22，则i i i x x a -⋅=12，且121=+++i x x x Λ，其中.2002,,2,1Λ=i)(122002322002212002200221x x x x x x a a a +++⋅⋅=⋅⋅⋅∴ΛΛΛ)()(200121200231x x x x x x +++⋅⋅+++⋅ΛΛΛ200120012120012002312001200232200221200220012001200112x x x x x x x x x x x x ΛΛΛΛΛ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥200220022002400220012=⨯=12.关于x 的三次函数)(x f y =的两个极值点为P 、Q ，其中P 为原点，Q 在曲线221x x y -+=上，则曲线)(x f y =的切线斜率的最大值的最小值为_______________. 【答案】43. 提示：设d cx bx ax x f +++=23)(，依题意知：0)0(0)0('==f f 且，∴0==d c ，故23)(bx ax x f +=，bx ax x f 23)(2'+=，由221x x y -+=及点Q 在其上，可设Q 点的坐标为],0[),sin 1,cos 1(πθθθ∈++. 由Q 为)(x f y =的一个极值点得⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+)cos 1(2)cos 1(30)cos 1()cos 1(sin 1223θθθθθb a b a ， 显然πθθ≠-≠,1cos ，∴a b 32cos 1-=+θ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=23)cos 1()sin 1(3)cos 1()sin 1(2θθθθb a ，∵0<a ，∴bx ax x f 23)(2'+=存在最大值θθθcos 1sin 123)2cos 1()32(''++⋅=+=-f a b f ， 数形结合可求得OQ k ⋅=++⋅23cos 1sin 123θθ，其最小值为43.三、解答题：13.已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ），过椭圆中心O 作互相垂直的两条弦AC 、BD ，设点A 、B 的离心角分别为1θ和2θ，求)cos(21θθ-的取值范围。

解：当AC 、BD 与坐标轴重合时，0)cos(21=-θθ；当AC 、BD 与坐标轴不重合时，令21,ϕϕ=∠=∠xOB xOA ，则)(2221Z k k ∈+±=ππϕϕ，∴1tan tan 21-=⋅ϕϕ.由题意知,)sin ,cos (11θθa b A ,)sin ,cos (22θθa b B , 则11tan tan θϕb a =,22tan tan θϕba=.∴=-⋅+=-212121tan tan tan tan 1)cot(θθθθθθ2222212122tan tan 11)tan (tan tan tan 1ϕϕϕϕϕϕ--⋅-=-⋅+ab b a a b a b .222ab b a -≤ ∴222222221221)2(111)(cot 111)cos(b a b a abb a +-=-+-≤-+-=-θθθθ. 当且仅当1tan 2=ϕ，即BD 的倾斜角为4π或43π时，上式取等号。

∴222221)cos(0ba b a +-≤-≤θθ. 14.若a 、b 、+∈R c ，且满足22)4()(c b a b a cb a kabc++++≤++，求k 的最大值。