2．1.2 函数的表示方法学习目标 1.理解函数的三种表示方法.2.能根据需要选择恰当的函数表示方法.3.了解分段函数，并能进行简单应用．知识点一解析法思考一次函数如何表示？梳理用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．知识点二图象法思考要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？梳理用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法．知识点三列表法思考在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？怎样表示这种对应关系？梳理 用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法． 三种表示法的优缺点：知识点四 分段函数思考 某市规定出租车收费标准：起步价(不超过2 km)为5元．超过2 km 时，前2 km 依然按5元收费，超过2 km 部分，每千米收1.5元．按此规定乘坐出租车行驶任意一段路程，是否都有一个唯一的收费额与之对应？收费额y 元是行驶里程x km 的函数吗？当x ∈[0,2]时的计费方法与x ∈(2，＋∞)时计费方法一样吗？梳理 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．类型一 解析式的求法例1 根据下列条件，求f (x )的解析式． (1)f (f (x ))＝2x －1，其中f (x )为一次函数； (2)f (x ＋1x )＝x 2＋1x2；(3)f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x .反思与感悟 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．(2)如果已知f (g (x ))的表达式，想求f (x )的解析式，可以设 t ＝g (x )，然后把f (g (x ))中每一个x 都换成t 的表达式．(3)如果条件是一个关于f (x )、f (－x )的方程，我们可以用x 的任意性进行赋值．如把每一个x 换成－x ，其目的是再得到一个关于f (x )、f (－x )的方程，然后消元消去f (－x )． 跟踪训练1 根据下列条件，求f (x )的解析式． (1)f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9； (2)f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1； (3)2f (1x)＋f (x )＝x (x ≠0)．类型二 列表法及函数表示法的选择例2 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．反思与感悟函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．跟踪训练2 若函数f(x)如下表所示：则f(f(1))＝________.类型三分段函数命题角度1 建立分段函数模型例3 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．反思与感悟 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．跟踪训练3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．命题角度2 研究分段函数的性质例4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤2，x 2＋2，x >2.(1)求f (f (32))；(2)若f (x 0)＝8，求x 0的值； (3)解不等式f (x )>8.反思与感悟 已知函数值求变量x 取值的步骤 (1)先对x 的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出x 的解．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．(5)若解不等式，应把所求x 的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x 的值并起来．跟踪训练4 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象；(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围；(3)求f (x )的值域．1．已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________.x 1 2 3 4 f (x )32412.，则此二次函数的解析式为______________．3．已知正方形的边长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为________． 4．如图所示，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为________．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值； (2)画出函数f (x )的图象．1．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．2．如何用函数图象常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题．3．对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．答案精析问题导学 知识点一思考 y ＝kx ＋b (k ≠0)． 知识点二思考 一图胜千言． 知识点三思考 对于任一个x 的值，都有一个他写的数字与之对应，故x ，y 之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x 的值与y 的值之间的对应关系． 知识点四思考 因为任一行驶里程x 都对应唯一的收费额y ，故y 是x 的函数；但由于起步价的规定，x ∈[0,2]时，y ＝5，x ∈(2，＋∞)时，y ＝5＋(x －2)×1.5.计费方法不一样．题型探究例1 解 (1)由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，ab ＋b ＝－1，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1＋ 2.∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－2或 f (x )＝－2x ＋1＋ 2.(2)∵f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＝(x ＋1x)2－2，∴f (x )＝x 2－2.又x ≠0，∴x ＋1x ≥2或x ＋1x≤－2，∴f (x )中的x 与f (x ＋1x )中的x ＋1x取值范围相同，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，∴联立以上两式消去f (－x )， 得3f (x )＝x 2－6x ， ∴f (x )＝13x 2－2x .跟踪训练1 解 (1)由题意， 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2. (3)∵f (x )＋2f (1x )＝x ，将原式中的x 与1x互换，得f (1x )＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )的方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f1x＝x ，f1x＋2f x ＝1x，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．例2 解 (1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜． 在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．跟踪训练2 1例3 解过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 2 cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝12x2；(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝x＋x－22×2＝2x－2；(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－S Rt△CEF＝12(7＋3)×2－12(7－x)2＝－12(x－7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y＝⎩⎪⎨⎪⎧12x2，x∈[0，2]，2x－2，x∈2，5]，－12x－72＋10，x∈5，7].图象如图所示：跟踪训练3 解 设票价为y 元，里程为x 公里，定义域为(0,20]．由题意得函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图象如图所示：例4 解 (1)∵32≤2， ∴f (32)＝2×32＝3， ∴f (f (32))＝f (3)． ∵3＞2，∴f (3)＝32＋2＝11，即f (f (32))＝11. (2)当x 0≤2时，由2x 0＝8，得x 0＝4，不符合题意；当x 0>2时，由x 20＋2＝8，得x 0＝6或x 0＝－6(舍去)，故x 0＝ 6.(3)f (x )>8等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤2，2x >8，① 或⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，x 2＋2>8，②解①得x ∈∅，解②得x > 6.综合①②，f (x )>8的解集为{x |x >6}．跟踪训练4 解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f (±12)＝14，结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是(－∞，－12]∪[12，＋∞)．(3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1.所以f (x )的值域为[0,1]．当堂训练1．1 2.f (x )＝(x －1)2－1 3.y ＝22x 4．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，x ≤1，－x 2＋4x －2，1<x <3，x －2，x ≥35．解 (1)因为5>4，所以f (5)＝－5＋2＝－3.因为－3<0，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1.因为0<1<4，所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1.(2)f (x )的图象如图：。