北京四中2020-2021学年九年级上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图标中，是中心对称的是( )A ．B ．C ．D ． 2．抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣3）B ．（﹣2，3）C ．（2，3）D ．（﹣2，﹣3） 3．已知3x=2y ,那么下列式子中一定成立的是（ ）A ．x+y=5B ．32x y =C ．23x y =D ．32x y = 4．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD =6，BD =2，AE =9，则EC 的长是A ．8B ．6C ．4D ．35．如图，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90° ，得到''A B C ∆，连接'AA ，若∠1=25°，则∠BAC 的度数是( )A ．10°B ．20°C ．30°D ．40° 6．已知二次函数y ＝－3x 2＋1的图象如图所示，将其沿x 轴翻折后得到的抛物线的表达式为( )A ．y ＝－3x 2－1B ．y ＝3x 2C ．y ＝3x 2＋1D ．y ＝3x 2－1 7．将抛物线2(1)2y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．28．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过点A ，B ，C ．现有下面四个推断：①抛物线开口向下；②当x =－2时，y 取最大值；③当m <4时，关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c =m 必有两个不相等的实数根；④直线y=kx+c (k ≠0)经过点A ，C ，当kx+c> ax 2＋bx ＋c 时，x 的取值范围是－4<x <0；其中推断正确的是 （ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②③④二、填空题 9．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，－1）的抛物线的表达式：______ 10．若二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则ac _____0（填“＞”或“＝”或“＜”）．11．如图，在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则△AEF 与△ABC 的面积之比为 ．12．点A （-1，1y ）、B （1，2y ）在二次函数221y x x =--的图象上，则1y 与2y 的大小关系是1y ______2y ．（用“＞”、“＜”、“=”填空）13．如图是小孔成像原理的示意图,根据图中标注的尺寸,如果物体AB 的高度为18cm ,那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为______cm ．14．北京紫禁城是中国古代宫廷建筑之精华． 经测算发现, 太和殿,中和殿, 保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD （北至保和殿, 南至太和门,西至弘义阁, 东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH 为相似形, 若比较宫院与台基之间的比例关系, 可以发现接近于9:5, 取“九五至尊”之意． 根据测量数据, 三大殿台基的宽(EF )为40丈, 请你估算三大殿宫院的宽(AB )为_________丈．15．已知二次函数22y ax bx =+-自变量x 的部分取值和对应的函数值y 如下表，则在实数范围内能使得y ＞1成立的x 的取值范围是__________．16．如图，点A 是抛物线24y x x =-对称轴上的一点，连接OA ，以A 为旋转中心将AO 逆时针旋转90°得到AO ′，当O ′恰好落在抛物线上时，点A 的坐标为______________．三、解答题17．已知二次函数y=x2+bx-3的图象过点(1,0)．求该二次函数的解析式和顶点坐标．18．如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C三点在同一条直线上。

求证：DB平分∠ADE．19．已知：如图，在ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED=∠C.（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若AB=6，AD= 4，AC=5，求AE的长.20．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：（1）求此二次函数的表达式；（2）画出此函数图象(不用列表).（3）结合函数图象，当－4＜x≤1时,写出y的取值范围.21．如图, 在平面直角坐标系中, △ABC的顶点坐标分别为A（2，0），B（3，2），C（5，-2）．以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△'''A B C．（1）画出△'''A B C；（2）分别写出B, C两点的对应点'B, 'C的坐标．22．已知二次函数y=x2–kx+k–1（k＞2）．（1）求证：抛物线y=x2–kx+k-1（k＞2）与x轴必有两个交点；（2）抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若ΔOAC的面积是32，求抛物线的解析式．23．如图, 在等边△ABC中, D, E, F分别为边AB, BC, CA上的点, 且满足∠DEF=60°．（1）求证：BE CE BD CF⋅=⋅；（2）若DE⊥BC且DE=EF, 求BEEC的值．24．某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：5150y x =-+．（1）该文具店这种笔记本每月获得利润为w 元，求每月获得的利润w 元与销售单价x 之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？ 25．小左同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，她在某一时刻立一长度为1米的标杆，测得其影长为0.8米，同时旗杆投影的一部分在地上，另一部分在某一建筑物的墙上，测得旗杆与建筑物的距离为10米，旗杆在墙上的影高为2米，请帮小左同学算出学校旗杆的高度．26．在平面直角坐标系xOy 中，点()4,2A --，将点A 向右平移6个单位长度，得到点B .(1)直接写出点B 的坐标；(2)若抛物线y=-x 2+bx+c 经过点A ,B ，求抛物线的表达式；(3)若抛物线y=-x 2+bx+c 的顶点在直线y=x+2上移动，当抛物线与线段AB 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．27．已知：在等腰直角三角形ABC 中，AB=BC ，∠ABC =90°．D 是平面上一点，连结BD ．将线段BD 绕点B 逆时针旋转90°得到线段BE ，连结AE ，CD ．（1）在图1中补全图形，并证明：AE ⊥CD ．（2）当点D 在平面上运动时，请猜测线段AD ，CE ，AB ，BD 之间的数量关系． （3）如图2，作点A 关于直线BE 的对称点F ，连结AD ，DF ，BF ．若AB =11，BD =7，AD =14，求线段DF 的长度．28．定义: 对于平面直角坐标系xOy 上的点P (a , b ) 和抛物线2y x ax b =++, 我们称P (a ,b )是抛物线2y x ax b =++的相伴点, 抛物线2y x ax b =++是点P (a , b ) 的相伴抛物线． 如图，已知点A (-2, -2)，B (4, -2)，C (1, 4)．(1) 点A 的相伴抛物线的解析式为 ；过A, B 两点的抛物线2y x ax b =++的相伴点坐标为 ；(2) 设点P (a , b ) 在直线AC 上运动:①点P (a , b )的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上, 求抛物线Ω的解析式． ②当点P (a , b )的相伴抛物线的顶点落在△ABC 内部时, 请直接写出 a 的取值范围．参考答案1．C【解析】【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】A ．不是中心对称图形，故此选项错误；B ．不是中心对称图形，故此选项错误；C ．是中心对称图形，故此选项正确；D ．不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．2．D【解析】试题分析：∵抛物线y=﹣（x+2）2﹣3为抛物线解析式的顶点式，∴抛物线顶点坐标是（﹣2，﹣3）．故选D ．考点：二次函数的性质．3．C【分析】根据比例的性质即可得到结论．【详解】A ．3x=2y ，不一定能得到x +y =5，故A 错误；B ．由32x y =得到：2x =3y ，故B 错误； C ．由23x y =得到：3x =2y ，故C 正确； D ．由32x y =得到：2x =3y ，故D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．4．D【分析】根据题意知两平行线DE ∥BC 间的线段成比例=AD AE AB AC，据此可以求得AC 的长度，所以EC=AC-AE ．【详解】∵AD=6，BD=2，∴AB=AD+BD=8；又∵DE ∥BC ，AE=9， ∴=AD AE AB AC ， ∴AC=12，∴EC=AC-AE=12-9=3；故选D ．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．解题时，需要根据图示求得AB 的长度．5．B【分析】由旋转的性质可得AC =A 'C ，∠ACA '=90°，∠BAC =∠B 'A 'C ，由直角三角形的性质可得∠AA 'C =∠CAA '=45°，即可求解．【详解】∵将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A 'B 'C ，∴AC =A 'C ，∠ACA '=90°，∠BAC =∠B 'A 'C ，∴∠AA 'C =∠CAA '=45°．∵∠1=25°，∴∠B 'A 'C =20°，∴∠BAC =20°．故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键． 6．D【解析】【分析】由于二次函数y=-3x 2+1的图象沿x 轴翻折后所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，然后写出点（0，1）关于x 轴的对称点的坐标，再利用顶点式即可得到新抛物线的解析式．【详解】二次函数y=-3x 2+1的图象的顶点坐标为（0，1），点（0，1）关于x 轴的对称点的坐标为（0，-1），又因为二次函数y=-3x 2+1的图象沿x 轴翻折后所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，所以所得抛物线的解析式为y=3x 2-1．故选：D ．【点睛】抛物线2y ax k =+沿x 轴翻折后所得新的抛物线表达式为2y ax k =--. 7．D【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答．【详解】解：()212y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点， ∴解析式为()21y x =+，∴a=2.故选D ．【点睛】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．8．B【分析】结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案．【详解】解：①由图象可知，抛物线开口向下，所以①正确；②若当x=-2时，y取最大值，则由于点A和点B到x=-2的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点A和点B的纵坐标显然不相等，所以②错误，从而排除掉A和D；剩下的选项中都有③，所以③是正确的；易知直线y=kx+c（k≠0）经过点A，C，当kx+c＞ax2+bx+c时，x的取值范围是x＜-4或x＞0，从而④错误．故选B．【点睛】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题．9．y=x2-1（答案不唯一）．【解析】试题分析：抛物线开口向上，二次项系数大于0，然后写出即可．抛物线的解析式为y=x2﹣1．考点：二次函数的性质．10．＜【分析】首先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断ac与0的关系．【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0．故答案为＜．【点睛】考查二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．常数项c 决定抛物线与y 轴交点．11．1:4．【解析】试题解析：∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF=12BC ，DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴21()4AEF ABC S EF S BC ∆∆==． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．．12．＞【分析】分别计算自变量为﹣1、1时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【详解】当x =﹣1时，y 1=x 2﹣2x ﹣1=2；当x =1时，y 2=x 2﹣2x ﹣1=﹣2；∵2＞﹣2，∴y 1＞y 2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13．8【分析】因为AB ∥CD 所以△ABO ∽△CDO ，则有4520AB CD =而AB 的值已知，所以可求出CD ． 【详解】∵△ABO ∽△CDO ， ∴4520AB CD =， 又∵AB =18cm ，∴CD=8cm．故答案为：8．【点睛】本题考查了相似三角形的应用．相似比等于对应高之比在相似中用得比较广泛．14．72【分析】设三大殿宫院的宽为x丈，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】设三大殿宫院的宽为x丈，由题意得：x：40=9：5，解得：x=72．故答案为：72．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解答本题的关键．15．x<-1或x ＞3【分析】根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数的对称性得出y=1的自变量x的值即可．【详解】∵x=0，x=2的函数值都是﹣3，相等，∴二次函数的对称轴为直线x=1．∵x=﹣1时，y=1，∴x=3时，y=1．根据表格得：自变量x＜1时，函数值逐点减小，当x=1时，达到最小，当x＞1时，函数值逐点增大，∴抛物线的开口向上，∴y＞1成立的x取值范围是x＜﹣1或x＞3．故答案为：x＜﹣1或x＞3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图表信息，求出对称轴解析式是解答本题的关键．此题也可以确定出抛物线的解析式，再解不等式或利用函数图形来确定．16．（2，2）或（2，-1）【解析】∵抛物线y=x 2-4x 对称轴为直线x=-422-= ∴设点A 坐标为（2，m ）， 如图所示，作AP ⊥y 轴于点P ，作O′Q ⊥直线x=2，∴∠APO=∠AQO′=90°，∴∠QAO′+∠AO′Q=90°，∵∠QAO′+∠OAQ=90°，∴∠AO′Q=∠OAQ ，又∠OAQ=∠AOP ，∴∠AO′Q=∠AOP ，在△AOP 和△AO′Q 中，APO AQO AOP AO QAO AO ∠∠'⎧⎪∠∠'⎨⎪'⎩＝＝＝∴△AOP ≌△AO′Q （AAS ），∴AP=AQ=2，PO=QO′=m ，则点O ′坐标为（2+m ，m-2），代入y=x 2-4x 得：m-2=（2+m ）2-4（2+m ），解得：m=-1或m=2，∴点A 坐标为（2，-1）或（2，2），故答案是：（2，-1）或（2，2）．【点睛】本题考查了坐标与图形的变换-旋转，全等三角形的判定与性质，函数图形上点的特征，根据全等三角形的判定与性质得出点O′的坐标是解题的关键．17．y=x2+2x-3，顶点(-1，-4)【分析】利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用配方法把一般式化为顶点式，从而得到抛物线解析式的顶点坐标．【详解】把(1，0)，代入y=x2+bx-3得：1+b-3=0，解得：b=2，所以抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，因为y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4，所以抛物线的顶点坐标为(﹣1，﹣4)．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．18．证明见解析.【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△DBE，进一步得到BA=BD，从而得到∠A=∠ADB，根据∠A=∠BDE得到∠ADB=∠BDE，从而证得结论．【详解】证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，∴△ABC≌△DBE∴BA=BD．∴∠A=∠ADB．∵∠A=∠BDE，∴∠ADB=∠BDE．∴DB平分∠ADE．【点睛】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．也考查了邻补角定义．19．（1）证明见解析；（2）AE=103．【解析】【分析】（1）根据有两对角相等的两个三角形相似证明即可．（2）由（1）中的相似三角形可得关于AE的比例式，代入已知数据计算即可求出AE的长．【详解】（1）证明：∵∠AED=∠C，∠A=∠A，∴△AED∽△ACB；（2）∵△AED∽△ACB，∴AE AD AC AB＝，∵AB=6，AD=4，AC=5，∴4 56 AE＝，∴AE=103．【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．20．（1）y=－x2－2x+3；（2）画图见解析；（3）－5<y≤4【解析】试题分析：（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到抛物线的顶点坐标为（-1，4），则可设顶点式y=a（x+1）2+4，然后把（0，3）代入求出a的值即；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）观察函数函数图象，当-4<x≤1时，函数的最大值为4，于是可得到y的取值范围为-5<y≤4．解：(1)由表知,抛物线的顶点坐标为(−1,4),设y=a(x+1)2+4，把(0,3)代入得a(0+1)2+4=3，解得a=−1，∴抛物线的解析式为y=−(x+1)2+4,即y=−x2−2x+3；(2)函数图象如图所示，(3)当−4<x⩽1时，−5<y⩽4.21．（1）作图见解析；（2）B'(6，4)，C'(10，﹣4)．【分析】（1）由以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A'B'C'，根据位似的性质，可求得点A'、B'、C'的坐标，继而画出△A'B'C'；（2）由（1）即可求得B，C两点的对应点B'，C'的坐标．【详解】（1）∵以原点O为位似中心，在y轴的右侧将△ABC放大为原来的两倍得到△A'B'C'，∴A'(4，0)，B'(6，4)，C'(10，﹣4)；如图画出△A'B'C'：（2）由（1）得：B'(6，4)，C'(10，﹣4)．【点睛】本题考查了位似图形变换．注意掌握关于原点位似的图形的变化特点是解答本题的关键．22．（1）详见解析；（2）y=x2-4x+3【分析】（1）先计算判别式的值得到△=(k﹣2)2，利用k＞2，可判断△＞0，于是根据△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点即可得到结论；（2）根据抛物线与x轴的交点问题，解方程x2﹣kx+k﹣1=0得x=k﹣1或x=1，利用k＞2，点A在点B的左侧得到A(1，0)，B(k﹣1，0)，再表示出C(0，k﹣1)，然后根据ΔOAC的面积是32，解方程求出k即可得到抛物线的表达式．【详解】（1）∵△=(﹣k)2﹣4×1×(k﹣1)=(k﹣2)2，又∵k＞2，∴(k﹣2)2＞0，即△＞0，∴抛物线y=x2﹣kx+k﹣1与x轴必有两个交点；（2）∵抛物线y=x2﹣kx+k﹣1与x轴交于A、B两点，∴令y=0，有x2﹣kx+k﹣1=0，解得：x=k﹣1或x=1．∵k＞2，点A在点B的左侧，∴A(1，0)，B(k﹣1，0)．∵抛物线与y轴交于点C，∴C(0，k﹣1)．∵131(1)22 AOCS k∆=⨯⨯-=，∴k-1=3，解得：k=4，∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了三角函数的定义．23．（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）由等边三角形的性质可知∠B=∠C=60°，再由已知条件和三角形外角的性质可证明∠BDE=∠FEC，进而证明△DBE∽△ECF，根据相似三角形的性质即可得出结论．（2）由相似三角形的性质和已知条件得出BD=CE，由含30°角的直角三角形的性质得出BE 12=BD ，即可得出结果． 【详解】（1）∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B =∠C =60°，又∵∠DEF =60°，∴∠DEF =∠B ．∵∠DEC 是△DBE 的外角， ∴∠DEC =∠B +∠BDE ，即∠DEF +∠FEC =∠B +∠BDE ． ∵∠DEF =∠B ，∴∠BDE =∠CEF ，又∵∠B =∠C ，∴△BDE ∽△CEF ， ∴=BD BE CE CF， ∴BE •CE =BD •CF ；（2）∵△BDE ∽△CEF ， ∴BD DE CE EF=， 又∵DE =EF ，即1DE EF =， ∴BD =CE ．∵DE ⊥BC ，∴∠DEB =90°．∵∠B =60°，∴∠BDE =30°，∴BE 12=BD ， ∴12BE BE EC BD ==． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 24．（1）w =﹣5x 2+200x ﹣1500，其中10≤x ≤30；（2）x =20，w 最大=500元．【分析】（1）每月销售量y =﹣5x +150，乘以每件利润(x ﹣10)即可得到每月获得的利润w 元的表达式； （2）转化为二次函数求出最大值即可．【详解】（1）w =(x ﹣10)(﹣5x +150)=﹣5x 2+200x ﹣1500．∵10051500x x -≥⎧⎨-+≥⎩， ∴自变量的取值范围为10≤x ≤30；∴w =﹣5x 2+200x ﹣1500，其中10≤x ≤30；（2）w =﹣5x 2+200x ﹣1500=﹣5(x ﹣20)2+500∵a =﹣5＜0，∴当x =20时，w 有最大值，为500元．答：当销售单价定为20元时，每月可获得最大利润，最大利润为500元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 25．14.5米【分析】先求出墙上的影高落在地面上时的长度，再设旗杆的高度h 米，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h 的值即可．【详解】设墙上的影高2米落在地面上时的长度为x 米，旗杆的高度为h 米，某一时刻测得长为1米的竹竿影长为0.8米，墙上的影高为2米，120.8x∴=，解得 1.6(x =米)， ∴树的影长为：1.61011.6(+=米)，10.811.6h ∴=，解得14.5(h =米)． 答：学校旗杆的高度14.5米．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出旗杆的影长，这是此题的易错点．26．(1)()2,2B -；(2)抛物线表达式为226y x x =--+；(3)43t -≤<-或05t <≤．【解析】【分析】（1）根据点的平移规律可得点B 坐标；（2）根据A 、B 两点坐标，利用待定系数法可求得解析式；（3）由顶点在直线l 上可设顶点坐标为（t ，t +2），继而可得抛物线解析式为y ＝﹣（x ﹣t ）2+t +2，根据抛物线与线段AB 有一个公共点，考虑抛物线过点A 或点B 临界情况可得t 的范围．【详解】(1)根据平移的性质，可得：()22B -，； (2) ∵抛物线2y x bx c =-++过点A B ，，∴1642422b c b c --+=-⎧⎨-++=-⎩，解得：26b c =-⎧⎨=⎩，∴抛物线表达式为226y x x =--+；(3)∵抛物线2y x bx c =-++顶点在直线2y x =+上 ，∴抛物线顶点坐标为()2t t +， ，∴抛物线表达式可化为()22y x t t =--++． 把()42A --，代入表达式可得：()2242t t -=---++ 解得：1234t t =-=-，．∴43t -≤<-．把()22B -，代入表达式可得()2222t t --++=-． 解得：3405t t ==，∴05t <≤．综上可知：t 的取值范围时43t -≤<-或05t <≤．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质，待定系数求解析式是解题的根本，将抛物线与线段AB 有一个公共点转化为方程问题是解题的关键．27．（1）详见解析；（2）222222AD CE AB BD +=+；（3）DF=12【分析】（1）由旋转的性质得到∠DBE =90°，BD =BE ，进而可得∠ABE =∠CBD ，即可证明△ABE ≌△CBD ，由全等三角形对应角相等得到∠EAB =∠DCB ．在△AMB 和△CMN ，根据对顶角相等和三角形内角和定理即可得到∠CNM =90°，即可得出结论；（2）连接ED ．在Rt △CNE 、Rt △AND 、Rt △ANC 、Rt △DNE 中，分别利用勾股定理即可得出结论．（3）延长EB 到G ．由A 和F 关于直线BE 对称，得到∠ABG =∠FBG ，AB =BF ，进而得到BC =BF ．根据邓娇的余角相等得到∠CBE =∠FBD ，即可证明△CBE ≌△FBD ，根据全等三角形对应边相等得到CE =FD ．由（2）的结论可求出CE 的长，等量代换即可得出结论．【详解】（1）作图见图1．∵将线段BD 绕点B 逆时针旋转90°得到线段BE ， ∴∠DBE =90°，BD =BE ．∵∠ABC =90°，∴∠ABE =∠CBD ．在△ABE 和△CBD 中，∵AB =BC ，∠ABE =∠CBD ，BE =BD ，∴△ABE ≌△CBD ，∴∠EAB =∠DCB ．∵∠AMB =∠CMN ，∴∠CNM =∠ABM =90°，∴AE ⊥CD ；（2）222222AD CE AB BD +=+．理由如下：连接ED ，如图2．∵AE ⊥CD ，∴222CE CN NE =+，222AD AN ND =+，∴2222222222()()AD CE CN NE AN ND CN AN NE ND +=+++=+++．∵222AC CN AN =+，222DE NE ND =+，∴2222AD CE AC DE +=+．∵22222AC AB BC AB =+=，22222DE BE BD BD =+=，∴222222AD CE AB BD +=+．（3）延长EB 到G ，如图3．∵A 和F 关于直线BE 对称，∴∠ABG =∠FBG ，AB =BF ．∵AB =BC ，∴BC =BF ．∵∠ABC =∠DBE =90°，∴∠ABG +∠CBE =90°，∠FBG +∠FBD =90°，∴∠CBE =∠FBD ．在△CBE 和△FBD 中，∵CB =FB ，∠CBE =∠FBD ，BE =BD ，∴△CBE ≌△FBD ，∴CE =FD ．由（2）可知：222222AD CE AB BD +=+，∴22221421127CE +=⨯+⨯，∴CE =12，∴DF =CE =12．【点睛】本题是旋转综合题．考查了旋转的性质，轴对称的性质、勾股定理以及全等三角形的判定和性质．利用勾股定理进行转化是解答本题的关键．28．(1)y=x 2-2x-2;P(-2,-10)；（2）①y=-x 2-4x+2；②40a -<<．【分析】（1）a=b=﹣2，故抛物线的表达式为：y=x2﹣2x﹣2．故答案为：y=x2﹣2x﹣2；将点A、B坐标代入y=x2+ax+b并解得：a=﹣2，b=﹣10；（2）①直线AC的表达式为：y=2x+2，设点P(m，2m+2)，则抛物线的表达式为：y=x2+mx+2m+2，顶点为：(12-m，14-m2+2m+2)，即可求解；②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，即可求解．【详解】（1）a=b=﹣2，故抛物线的表达式为：y=x2﹣2x﹣2．故答案为：y=x2﹣2x﹣2；将点A、B坐标代入y=x2+ax+b得：4221642a ba b-+=-⎧⎨++=-⎩，解得：a=﹣2，b=﹣10．故答案为：(﹣2，﹣10)；（2）①由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y=2x+2，设点P(m，2m+2)，则抛物线的表达式为：y=x2+mx+2m+2，顶点为：(12-m，14-m2+2m+2)，令x12=-m，则m=﹣2x，则y14=-m2+2m+2=﹣x2﹣4x+2，即抛物线Ω的解析式为：y=﹣x2﹣4x+2；②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，抛物线与直线AC的交点为点E(0，2)；当y=﹣2时，即y=﹣x2﹣4x+2=﹣2，解得：x=﹣2±，故点F(﹣2+，﹣2)；故0＜x＜﹣，由①知：a=m=﹣2x，故：4﹣a＜0．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解．。