2020-2021学年北京四中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列各式中，化简后能与2合并的是()
A．12B．8C．2
3
D．0.2
2．（3分）用配方法解方程2410
x x
--=，方程应变形为()
A．2
(2)3
x+=B．2
(2)5
x+=C．2
(2)3
x-=D．2
(2)5
x-=
3．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A．科克曲线B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图D．斐波那契螺旋线
4．（3分）方程(1)
x x x
-=的解是()
A．0
x=B．2
x=C．
10
x=，
21
x=D．
10
x=，
22
x=
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC 的中点，若2
EF=，则菱形ABCD的周长为()
A．16B．8C．42D．4
6．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是()
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分D．对角线平分对角
7．（3分）一组数据中，改动一个数据，下列统计量一定变化的是()
A．平均数B．众数C．中位数D．方差8．（3分）如图，将ABC
∆绕点C顺时针旋转得到DEC
∆，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
①AC AD
=；②AB EB
⊥；③BC EC
=；④A EBC
∠=∠；
其中一定正确的是()
A．①②B．②③C．③④D．②③④
9．（3分）将4张长为a、宽为()
b a b
>的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为()
a b
+的正方形，图中空白
部分的面积之和为
1
S，阴影部分的面积之和为
2
S．若
12
5
3
S S
=，则a，b满足()
A．25
a b
=B．23
a b
=C．3
a b
=D．2
a b
=
10．（3分）生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的m天数据，整理后绘制成统计表进行分析．
日均可回收物回收量（千吨）12
x<23
x<34
x<45
x<56
x合计
频数12b3m
频率0.050.10a0.151
表中34
x<组的频率a满足0.200.30
a．
下面有四个推断：
①表中m的值为20；
②表中b的值可以为7；
③这m天的日均可回收物回收量的中位数在45
x<组；
④这m天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．
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所有合理推断的序号是()
A．①②B．①③C．②③④D．①③④
二、填空题（每题2分，共20分）
11．（2分）函数3
y x
=+中，自变量x的取值范围是．
12．（2分）如图，正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上任意一点．PE AD
⊥，PF CD
⊥，垂足分别
是E，F．则PE PF
+=．
13．（2分）如图，菱形ABCD中，10
AB=，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，32
AEO
∠=︒，则OE的长等于，ADO
∠的度数为．
14．（2分）若关于x的一元二次方程22
(4)2160
a x x a
+++-=有一个根为0，则a的值为．
15．（2分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的面积均为1，正方形ABCM，CDEN，MNPQ的顶点都在格点上，则正方形MNPQ的面积为．
16．（2分）图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形．则图1中菱形的面积等于；图2中间的小四边形的面积等于．17．（2分）在矩形ABCD中，AD AB
>，对角线AC，BD相交于点O．E，F分别是边AD，BC的中点，过点O的动直线与AB，CD边分别交于点M，N．在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形四个图形中，四边形EMFN可能是
（只填序号）．
18．（2分）如图所示，在ABC
∆中，AD BC
⊥于点D，E，F分别是AB，AC边的中点，连接DE，EF，FD，当ABC
∆满足条件时，四边形AEDF是菱形．（填一个你认为恰当的条件即可）
19．（2分）如图所示，ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将ABE
∆向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若FDE
∆的周长为8，FCB
∆的周长为22，则FC的长为．
20．（2分）在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%；八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：
①七年级成绩优秀的男生人数小于八年级成绩优秀的男生人数；
②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；
③七、八年级所有男生成绩的优秀率不一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．
所有合理推断的个数是个．
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三、解答题（本题共50分，第21题每小题10分共10分，22-25题每题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
21．（10分）计算： （1）48618÷-； （2）11
(
38)(83)22
+-． 22．（5分）解方程．22220x x -+=
23．（5分）如图，将一张矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ． （1）求证：BF DF =；
（2）若将折叠的图形恢复原状，点F 与BC 边上的点M 正好重合，连接DM ，试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由．
24．（5分）先进制造业城市发展指数是反映一个城市先进制造水平的综合指数．对2019年我国先进制造业城市发展指数得分排名位居前列的30个城市的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a ．先进制造业城市发展指数得分的频数分布直方图（数据分成6组：3040x <，4050x <，5060x <，6070x <，
7080x <，8090):x
b ．先进制造业城市发展指数得分在7080x <这一组的是：71.1，75.7，79.9．
c ．30个城市的2019年快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图：
d ．北京的先进制造业城市发展指数得分为79.9．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这30个城市中，北京的先进制造业城市发展指数排名第 ；
（2）在30个城市的快递业务量累计和先进制造业城市发展指数得分情况统计图中，包括北京在内的少数几个城市所对应的点位于虚线l 的上方．请在图中用“〇”圈出代表北京的点；
（3）在这30个城市中，先进制造业城市发展指数得分高于北京的城市的快递业务量累计的最小值约为 亿件．（结果保留整数） 25．（5分）综合与实践 问题情境：
如图①，点E 为正方形ABCD 内一点，90AEB ∠=︒，将Rt ABE ∆绕点B 按顺时针方向旋转90︒，得到CBE ∆'（点
A 的对应点为点)C ．延长AE 交CE '于点F ，连接DE ．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE FE '的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA DE =，请猜想线段CF 与FE '的数量关系并加以证明； 解决问题：
（3）如图①，若15AB =，3CF =，请直接写出DE 的长．
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26．（6分）如图，正方形ABCD 的两条对角线把正方形ABCD 分割成四个全等的等腰直角三角形，将它们分别沿正方形ABCD 的边翻折，可得到一个面积是原正方形ABCD 面积2倍的新正方形EFGH ．
请你在图1，图2，图3中完成：将矩形分割成四个三角形，然后将其沿矩形的边翻折，分别得到面积是原矩形面积2倍的三个新的四边形：菱形、矩形、一般的平行四边形．
27．（7分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 上一点且60ADC ∠=︒，CE AD ⊥于点E ，点A 关于点E 的对称点为点F ，CF 交AB 于点G ． （1）依题意补全图形； （2）求AGC ∠的度数；
（3）写出AD 、BD 、CD 之间的等量关系，并证明．
28．（7分）在ABC ∆中，点D 在AB 边上（不与点B 重合），DE BC ⊥，垂足为点E ，如果以DE 为对角线的正方形上的所有点都在ABC ∆的内部或边上，则称该正方形为ABC ∆的内正方形．
（1）如图，在ABC ∆中，4AB =，30B ∠=︒，点D 是AB 的中点，画出ABC ∆的内正方形，直接写出此时内正方形的面积；
（2）在平面直角坐标系xOy 中，点(,2)A t ，(0,0)B ，3
(2
C t ，0)．
①若2t =，求ABC ∆的内正方形的顶点E 的横坐标的取值范围；
②若对于任意的点D ，ABC ∆的内正方形总是存在，直接写出t 的取值范围．。