为固定实数
lim
m f (0,0) f ( x, y ) lim f ( x, m x) 2 x 0 1 m
所以函数 f ( x, y) 在点 0, 0 沿方向 y mx
是连续的.
1 f ( x, y ) xy sin 在直线x y 0上 x y
每一点都间断.
x
f ( x0 , y0 ) 0
它表示在
f
的两个自变量中，当固定 y y0
时，f ( x, y0 ) 作为 x 的一元函数在 x0 连续. 同理，若
y 0
lim x f ( x0 , y0 ) 0
，则表示 f ( x0 , y)
作为 y 的一元函数在 y0 连续.
容易证明：当 f 在其定义域的内点
2 函数的增量、 全增量、 偏增量 设
P0 ( x0 , y0 ) P( x, y) D
x x x0
y y y0
则称 z f ( x0 , y0 ) f ( x, y) f ( x0 , y0 )
f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
定理16.7 设 函数
D是
R2
中的开集， 在点
P0 ( x0 , y0 ) D
u x, y
和
v x, y
P0 ( x0 , y0 ) D
连续.又设函数
f u, v
在 uv 平面上点 Q0 (u0 , v0 )
Q0 (u0 , v0 )
的某邻域内有定义，并在
第十六章 多元函数的极限与连续
§3 二元函数的连续性
一 二元函数的连续性概念 １ 连续性的定义 定义 设
2 f 为定义在 D R上的二元函数，
P0 D （
P0 为
D 的一个聚点或孤立点），
若任给正数 ，总存在
P 0 P0 , D
0 ，使得当
f P f P0 时， 都有
定义域：
D {( x , y ) | x 0, y 0}. （不连通）
点 (1, 2) D1 {( x , y ) | x 0, y 0} D.
于是，
x y 1 2 3 lim . 1 2 x1 xy 2
y 2
例2
求 lim
x0 y0
xy 1 1 . xy
f ( x, y) 对
0, 0 处
x 和对
y 分别都连续.
4 一般区域上连续函数性质 （1）若 则存在点
f 在点
a 连续，并且
a ，当
f (a) 0
a 的邻域
f ( x) 0
x a
时,有
（2）两个连续函数的和、差、积、商（若分母 不为零）都是连续函数 . （3）（复合函数的连续性）
u 0 x0 , y 0 v0 x0 , y 0
连续,其中
.则复合函数
g x, y f x, y , x, y
在点
P0 ( x0 , y0 ) D
也连续.
多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次示的多元函数叫多元初等函数。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：
P P0
lim f ( P ) f ( P0 ) ( P0 定义区域 )
x y . 例1 求极限 lim x1 xy
y2
解
x y f ( x, y) 是多元初等函数。 xy
则称 f 关于 D 在点 P0 连续. 在不致误解的情况下，也称 f 在点
P0
连续.
函数
f ( x, y)
有定义的孤立点必为连续点.
D 上任何点都关于集合
f
若 f在
连续，则称
D
为 D
上的连续函数.
记为 f C (D).
若
P0
为 D 的一个聚点，则 f 关于 D
P0
在点
连续等价于
P P0 PD
lim f ( P) f ( P0 )
若
P0
为
D
P P0 PD
的一个聚点，但
lim f ( P) f ( P0 )
不成立，则称
P0
为
f
的不连续点(或称
间断点). 特别当
P P0 PD
lim f ( P)
f ( P0 )
存在但不等于 的可去间断点.
时,
P0
是
f
例如 函数
x2 y2 , ( x, y ) (0,0), xy 2 2 f ( x, y ) x y 0 , ( x, y ) (0,0).
( x0 , y0 )
f ( x, y0 ) 在 x0 和 f ( x0 , y) 在 y0 都连续. 连续时，
但反过来，二元函数对单个自变量都连续
并不能保证该函数的连续性.
例如函数
1 f ( x, y) 0
xy 0 xy 0
在点 0, 0
处显然不连续.
但由于
f (0, y) f ( x,0) 0 ,因此在点
为函数
f ( x, y) 在点
P0 ( x0 , y0 的全增量 ) .
如果在全增量中取
x 0 或
y 0
则相应的函数的增量称为偏增量.记作
x f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
y f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
在点
0, 0 处连续.
xy x2 y2 f ( x, y ) m 1 m 2
( x, y ) ( x, y ) y m x, x 0 ( x, y ) (0, 0)
在点 0, 0
沿方向 y mx 连续，其中 m 这是由于
( x , y ) ( 0 , 0 ) y mx
一般来说，函数的全增量并不等于相应的两个 偏增量之和.
3 用增量定义函数的连续性
和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，
z 0 即 当x,lim y 0, 0
x , y D
时，函数 f 关于
D 在点 P0 连续.
若一个偏增量的极限为零，例如 lim
x 0
解
lim
x0 y0