若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间7上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
例如,
( 有理整函数 )
在
上连续 .
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
只x要0 Q((x0
,)0),,
都lim有
x x0
Pli(mx)R(
x x0
Px)(
（1）若
x0
是
f
(x)
的一个间断点，但左右极限
lim
x
x
0
f (x)和
lim
xx0
f (x) 都存在，称 x0 为第一类间断点.
其中，若
左右极限
lim
xx
0
f
(
x)
和
x
lim
x
0
f (x) 相等，称 x0 为可去间
断点
；若左右极限
lim
xx
0
f
(
x)
和
lim
x
x
0
f (x) 不相等，称
x0 为跳跃间断点.
u u2 u1 . 当 u2 u1 时， u 为正；当 u2 u1 时， u 为负. 设函数 y f (x) 在点 x0 及其某邻域内有定义，
当自变量 x 在点 x0 处有一个增量 x ，即从 x0 变
到 x x0 x 时，因变量的增量 y 是 x 的函数 y f (x0 x) f (x0 ) f (x) f (x0 ) .
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二、函数的间断点
9
(discontinuous point)
函数 f (x) 的不连续点称为间断点.
若 x0 是函数 f (x) 的间断点，那么必是下列三种情 况之一：
（1） f (x) 在点 x0 无定义
（2）
f
(x)
（2）当
x
lim
x0
f (x) ，xlimx0 f (x) 至少有一个不存在时，称 x0
为第二类间断点.
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例如:
11
y
y tan x
x
2
为其无穷间断点 .
x 0 为其振荡间断点 .
y
o
x
2
y y sin 1 x
0x
x0R) (
x0c)ontinue
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8
例 2. 证明指数函数 y a x (a 0) 是 (,) 上的连续函数.
证明.任取 x0 (,) ，给出自变量的增量 x ，相 应的因变量的增量为
y a x0 x a x0 a x0 (a x 1)
lim y lim [ax0 (ax 1)]
x 0
x 0
ax0 lim (ax 1) x 0
ax0 (11)
.
0
所以指数函数 y a x 是 (,) 上的连续函数.
类似地可以证明，常数函数 y c 和基本三角函数 sin x 、cos x 、tan x
及 cotx 在各自的定义域内都是连续函数.
6
有函数的增量
函数
在点 连续有下列等价命题:
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
y y f (x)
y
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
左连续 右连续
x
o x0 x x
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在点
x0
有定义，但
lim
x x0
f
(x) 不存在
（3）
f (x)
在点
x0
有定义且
lim
x x0
f (x) 存 在 ， 但
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
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10
根据函数在间断点处左右极限的情况，通常将间断点分 为两大类：
f (0 ) 1
x 0 为其跳跃间断点 .
12
y
1
1 2
o 1x
y
1
o
x
1
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bi运算
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连续函数的四则运算法则： 定理 1.设函数 f (x) 和 g(x) 在点 x0 处是连续的，则函数 f (x) g(x) 、 f (x) g(x) 、 f (x) g(x)（ g(x0 ) 0 ）在点 x0 处 都是连续的.
x 1为可去间断点 .
o1 x
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x, x 1
(4)
y
f
(x)
1 2
,
x 1
显然 lim f (x) 1 f (1)
x1
x 1为其可去间断点 .
(5)
y
f
(x)
x 1 0
, ,
x0 x0
x 1 , x 0
f (0 ) 1,
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3
一、连续函数的概念
例 1．肿瘤的体积是生 长时间的函数，体积的 生长速度很快，但在短 短的一小段时间里，肿 瘤的体积的变化是微 小的。右图是皮下瘤和 原位瘤体积生长曲线.
肿 瘤 体 积 (mm3 )
1800 1600 1400 1200 1000
800 600 400 200
0
皮下 瘤 原位瘤
7
14 21 28 35 42
时间t
肿瘤体积随时间的变化
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4
定义 1.当变量 u 从 u1变到 u2 时，称差值 u2 u1
为 变 量 u 的 增 量 (increment) ， 记 作 u . 即
单侧连续性：若 f (x) 在点 x0 处的左（右）极限 f (x0 ) （ f (x0 ) ）存在且 f (x0 ) f (x0 ) （ f (x0 ) ），则称 f (x) 在 点 x0 处左（右）连续.
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对自变量的增量
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5
定义
2.若当
x
0 时，
y
是无穷小，即
lim y
x0
0
，
则称函数 y f (x) 在点 x0 处是连续的(continuous).
定义
3.
若
lim
xx0
f (x)
f (x0 ) ，则称函数 y
f (x) 在点
x0 处是连续的.
第二章 一元函数的极限 及其连续性
第一节 函数 第二节 函数的极限 第三节 函数的连续性
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics Group
2020年9月5日星期六
2
第二节 函数的连续性
一、连续函数的概念 二、函数的间断点 三、连续函数的运算 四、闭区间上连续函数的性质