第十五章 分式15.1 分式15.1.1 从分式到分式1、一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。

2、与分式有关的条件（1）分式有意义：分母不为0（0B ≠） （2）分式无意义：分母为0（0B =）（3）分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ） （4）分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） （5）分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ） （6）分式值为1：分子分母值相等（A=B ）（7）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）例1．若24x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞4 B ．x≠4 C．x≥4 D ．x ＜4【答案】B ．【解析】试题解析：由题意得，x-4≠0，解得，x≠4，故选B ．考点：分式有意义的条件．考点：分式的基本性质．例2．要使分式1(1)(2)x x x ++-有意义，则x 应满足 （ ） A ．x≠-1 B ．x≠2 C．x≠±1 D．x≠-1且x≠2【答案】D ．【解析】试题分析：∵（x+1）（x ﹣2）≠0，∴x+1≠0且x ﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2．故选D ．考点：分式有意义的条件．例3．下列各式：2b a -，x x 3+，πy +5，b a b a -+，)(1y x m-中，是分式的共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C ．【解析】 试题分析：x x 3+，b a b a -+，)(1y x m-中分母中含有字母，因此是分式．故分式有3个．故选C ． 考点：分式的定义．例4．当x= 时，分式211x x -+的值为0． 【答案】1【解析】试题分析：由题意得：210x -=，且x+1≠0，解得：x=1，故答案为：1．考点：分式的值为零的条件．15.1.2 分式的基本性质1、分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：A A B C B C ⋅=⋅，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：BB A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

例1．如果把分式yx x +10中的x 、y 都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ） A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小到原来的101 【答案】C ．【解析】 试题分析：把分式y x x +10中的x 、y 都扩大到原来的10倍，可得y x x 10101010+⨯=yx x +10，故选C．考点：分式的基本性质．例2．把分式2ab a b+中的a 、b 都扩大6倍，则分式的值（ ） A.扩大12倍 B.不变 C.扩大6倍 D.缩小6倍【答案】C ．【解析】试题分析：分别用6a 和6b 去代换原分式中的a 和b ，原式=26612266a b ab ab a b a b a b⨯⨯==+++， 可见新分式的值是原分式的6倍．故选C ．考点：分式的基本性质．例3．写出等式中括号内未知的式子：717)(2+=+c c c ，括号内应填 ． 【答案】c【解析】 先把cc 7)(2+的分母提取公因式c ，得到71)7()(+=+c c c ，然后根据约分的定义求出括号内应填的数为c ． 解：71)7()(7)(2+=+=+c c c c c ， ∴71)7()(+=+c c c ， ∴括号内应填c ，故答案为c ．2、分式的约分（1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

（2）步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

（3）注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

（4）最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

约分时。

分子分母公因式的确定方法：①系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.②取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.③如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式例1．下列各式计算正确的是( ) A.222a ab b a b b a -+=--; B.2232()x xy y x y x y ++=++ C.23546x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭; D.11x y x y -=-+- 【答案】D【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的基本性质对各选项分析即可。

A 、b a b a b a b a a b b ab a +-=--=---=-+-)()()(2222，故本选项错误； B 、yx y x y x y x y xy x +=++=+++1)()()(232322，故本选项错误； C 、86243)(yx y x =，故本选项错误； D 、11x y x y-=-+-，正确， 故选D 。

例2．把一个分式的分子与分母的 约去，叫做分式的约分;在分式222x y xy xy+中，分子与分母的公因式是 .【答案】公因式；xy【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的约分的定义即可得到结果。

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；在分式222x y xy xy+中，分子与分母的公因式是.xy 例3．将下列分式约分：(1)258x x = ; (2)22357mn n m -= ;(3)22)()(a b b a --= . 【答案】(1)83x (2)－nm 5 (3)1 【解析】本题考查的是分式的约分根据分式的基本性质即可得到结果。

（1）258x x =83x ；（2）22357mn n m -=n m 5-；（3）22)()(a b b a --=.1 例4．约分：3263n m mn -= ． 【答案】221mn - 【解析】首先确定分子与分母的公因式，系数是分子与分母的系数的最大公约数，相同的字母，取最小的次数作为公因式的字母的次数，确定公因式以后，把公因式约去即可．解：原式=2233mnmn mn ⋅-=221mn -． 故答案是：221mn -． 例5．约分：22112mm m -+-． 【答案】解：原式=)1)(1()1(2m m m +--=)1)(1()1(2m m m +--=mm +-11． 【解析】首先把分子分母分解因式，再约去公因式即可．3、分式的通分（1）定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

（依据：分式的基本性质！）（2）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

通分时，最简公分母的确定方法：①系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.②取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.③如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.例1．下列各式计算正确的是( ) A.ba b a +=+111 B.ab m b m a m 2=+ C.a a b a b 11=+- D.011=-+-a b b a 【答案】D【解析】本题考查的是分式的通分根据分式的性质对各学项分析即可。

ab b a b a +=+11，故本选项错误；ab am bm b m a m +=+故本选项错误； a a b b a b a b 111-=--=+-，故本选项错误； 01111=--=-+-b a a b b a ，正确，故选D 。

例2．分式23a ，a 65，28ba 的最简公分母是（ ） A ．48a 3b 2 B ．24a 3b 2 C ．48a 2b 2 D ．24a 2b 2【答案】D【解析】求最简公分母就是求所有分式分母的最小公因数．解：三个分式分母的系数项的公因数为a 2b 2，常数项的最小公因数为24，所以三分式的最小公分母是24a 2b 2． 故选D例3．分式x y 2，23yx ，xy 41的最简公分母是（ ） A ．6xy 2 B ．24xy 2 C ．12xy 2 D ．12xy【答案】C【解析】先求出2，3，4的最小公倍数为12，按照相同字母取最高次幂，所有不同字母都写在积里，于是得到分式x y 2，23y x ，xy41的最简公分母为12xy 2． 解：2，3，4的最小公倍数为12， ∴分式x y 2，23yx ，xy 41的最简公分母为12xy 2． 故选C ．15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：a c a c b d b d ⋅⋅=⋅ 2、分式的乘除法法则：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为：a c a d a d b d b b c c⋅÷=⋅=⋅ 3、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。

式子表示为：n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ 例1．111a b c d b c d÷⨯÷⨯÷⨯等于（ ） A.a B.222a b c dC ．a dD ．222ab c d 【答案】B.【解析】试题分析：原式=222111111a a b b c c d d b c d ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=． 故选B.考点：分式的乘除法．例2．化简211m m m m--÷的结果是（ ） A ．m B ．1m C ．m －1 D ．11m - 【答案】A ．【解析】试题分析：原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．试题解析：原式=211m m m m m -⨯=- 故选A ．考点：分式的乘除法．例3．化简的结果为 ．【答案】2x【解析】试题分析：首先将分式的各分子和分母进行因式分解，然后将除法改成乘法进行约分化简． 原式=2(1)(1)11x x x x x x =x （x －1）+x=2x ．考点：分式的化简15.2.2 分式的加减1、分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。

式子表示为：c b a c b ±=±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为：bd bc ad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。