概率论与数理统计试题 考试时间：120分钟 试卷总分100分 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 评卷教师一、填空题（满分15分）1.已知3.0)(=B P ,7.0)(=⋃B A P ,且A 与B 相互独立，则=)(A P 。

2.设随机变量X 服从参数为二项分布，且21}0{==X P ，则=p 。

3.设),3(~2σN X ,且1.0}0{=<X P ，则=<<}63{X P4.已知DX=1，DY=2，且X 和Y 相互独立，则D(2X-Y)＝5.已知随机变量X 服从自由度为n 的t 分布，则随机变量2X 服从的分布是 。

二、选择题（满分15分）1.抛掷3枚均匀对称的硬币，恰好有两枚正面向上的概率是 。

装订线（A ）0.125， （B ）0.25， （C ）0.375， （D ）0.5 2.有γ个球，随机地放在n 个盒子中（γ≤n），则某指定的γ个盒子中各有一球的概率为 。

（A ）γγn ! （B ）γγn C r n ! （C ）nn γ! (D) n n n C γγ! 3.设随机变量X 的概率密度为||)(x ce x f -=，则c ＝ 。

（A ）－21（B ）0 （C ）21 （D ）14.掷一颗骰子600次，求“一点” 出现次数的均值为 。

（A ）50 （B ）100 （C ）120 （D ）1505.设总体X 在),(ρμρμ+-上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为 。

（A ）x 1 （B ）∑=-n i i X n 111 （C ）∑=-n i i X n 1211 （D ）x 三、计算题（满分60分）1.某商店拥有某产品共计12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品的概率。

2.设某种电子元件的寿命服从正态分布N （40，100），随机地取5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率。

（8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ）3.在区间（0，1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于56”的概率。

4.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2，0.3，0.4，各部件的状态相互独立，求需要调整的部件数X 的期望EX 和方差DX 。

5.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2％的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差。

（)99.0)325.2(,98.0)055.2(=Φ=Φ6.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。

（0301.2)35(025.0=t ，0281.2)36(025.0=t ） 四、证明题1.设A ，B 是两个随机事件，0<P(A)<1，⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛A B P A B P ，证明：A与B 相互独立。

2.设总体X 服从参数为λ的泊松分布，n X X ,1是X 的简单随机样本，试证：()221S X +是λ的无偏估计。

参考答案一、 填空题（满分15分）1、 0.52、3121-- 3、0.4 4、6 5、),1(n F 二、 填空题（满分15分）1、C2、D3、C4、B5、D三、 计算题1、 应用贝叶斯公式，P ＝0.95232、 当原方程有实根时，解得2>k 或1-<k ，因此所求概率为 535152=⎰dx . 3、⎩⎨⎧<<=其它0101)(x x f X ，⎩⎨⎧<<=其它101)(y y f Y 由于X 与Y 相互独立，因此⎩⎨⎧<<<<==其它10,101)()(),(y x y f x f y x f Y X ，所以⎰⎰==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-540540258),(54y dxdy y x f Y X P . 4、5412)(1002==⎰⎰dydx xy X E x， 2112)(1003==⎰⎰dydx xy XY E x.5、{}⇒≥⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-⇔≥>9.05110729.070n n X P X P 6.4129.1519.051≥⇒≥⇒≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Φn n n ， 因此至少应取42=n . 6、设2206.1:=σH ，2216.1:≠σH ， 由于83.52=X ，所以18.21925.1112122<=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=X n X n S n i i ，故拒绝0H ，即认为零件强度的方差较以往发生了变化。

四、 证明题 1、证明： 由于[])|()()()|()()()|()()()()|()()(A B P A P A P A B P A P A P A B P A P A P A P A B P A P AB P +=+==，[])|()()()|()()()|()()|()()()()(A B P A P A P A B P A P A P A B P A P A B P A P A P B P A P +=+=，及)()()(B P A P AB P =，因此)|()()()|()()()()()()()|()()()()|(A B P A P A P A B P A P A P B P A P A P A P A B P A P A P AB P A B P =-=-=.2、()λ=X E ，()λ=2S E ，[],)1()()1()()1(22λλλ=-+=-+=-+∴a a s E a x aE s a x a E命题得证。

06-07-1《概率论与数理统计》试题A一、填空题（每题3分，共15分） 1. 设A ，B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________.2. 已知),2(~2σN X ，且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________. 3. 设X 与Y 相互独立，且2)(=X E ，()3E Y =，()()1D X D Y ==，则=-])[(2Y X E ___4.设12,,,n X XX 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量2211()nii Xμσ=-∑服从__________分布.5. 设),3(~),,2(~p B Y p B X ，且95}1{=≥X P ，则=≥}1{Y P __________.二、选择题（每题3分，共15分）1. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】 (A)11a ab -+-；(B) (1)()(1)a a a b a b -++-；(C) a a b +；(D) 2a ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.2. 设随机变量X 的概率密度为()130, 其他c x p x <<⎧=⎨⎩则方差D(X)= 【 】(A) 2； (B) 12； (C) 3； (D) 13.3． 设A 、B 为两个互不相容的随机事件，且()0>B P ，则下列选项必然正确的是【 】()A ()()B P A P -=1；()B ()0=B A P ；()C ()1=B A P ；()D ()0=AB P ．4. 设()x x f sin =是某个连续型随机变量X 的概率密度函数，则X的取值范围是【 】()A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π； ()B []π,0； ()C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ； ()D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,ππ． 5. 设()2,~σμN X ，b aX Y -=，其中a 、b 为常数，且0≠a ，则~Y 【 】()A ()222,b a b a N +-σμ； ()B ()222,b a b a N -+σμ； ()C ()22,σμa b a N +； ()D ()22,σμa b a N -．三、（本题满分8分） 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被命中，求它是乙命中的概率.四、（本题满分12分）设随机变量X 的密度函数为xx e e Ax f -+=)(，求：（1）常数A ； （2）}3ln 210{<<X P ； （3）分布函数)(x F .五、（本题满分10分）设随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<-=其他,010),1(6x x x x f 求12+=X Y 的概率密度.六、（本题满分10分）将一枚硬币连掷三次，X 表示三次中出现正面的次数，Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X ，Y ）的联合概率分布；（2）{}X Y P >. 七、（本题满分10分）二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他,00,0,),()2(y x Ae y x f y x求：（1）系数A ；（2）X ，Y 的边缘密度函数；（3）问X ，Y 是否独立。

八、（本题满分10分）设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+1,01,),(1x x x x f βββ 其中未知参数1>β，n X X X ,,,21 为取自总体X 的简单随机样本，求参数β的矩估计量和极大似然估计量.九、（本题满分10分）设总体()2,~σμN X ，其中且μ与2σ都未知，+∞<<∞-μ，02>σ．现从总体X 中抽取容量16=n 的样本观测值()1621x x x ，，， ，算出75.503161161==∑=i i x x ，()2022.61511612=-=∑=i i x x s ，试在置信水平95.01=-α下，求μ的置信区间． （已知：()7531.11505.0=t ，()7459.11605.0=t ，()1315.215025.0=t ，()1199.216025.0=t ）． 07-08-1《概率论与数理统计》试题A一．选择题（将正确的答案填在括号内，每小题4分，共20分）1．检查产品时，从一批产品中任取3件样品进行检查，则可能的结果是：未发现次品，发现一件次品，发现两件次品，发现3件次品。

设事件i A 表示“发现i 件次品” ()3,2,1,0=i 。

用3210,,,A A A A 表示事件“发现1件或2件次品”，下面表示真正确的是（ ）(A)21A A ; (B)21A A +; (C) ()210A A A +; (D) ()213A A A +. 2．设事件A 与B 互不相容，且()0≠A P ，()0≠B P ，则下面结论正确的是（ ）(A) A 与B 互不相容; (B)()0>A B P ; (C) ()()()B P A P AB P =; (D)()()A P B A P =. 3．设随机变量()2,1~N X ，()4,2~N Y ，且X 与Y 相互独立，则（ ）(A)()1,0~2N Y X -; (B)()1,0~322N YX -;(C)()9,1~12N Y X +-; (D)()1,0~3212N Y X +-.4．设总体()2,~σμN X ，2,σμ是未知参数，()n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，则下列结论正确的是（ ）(A) 22211()~(1)1ni i S X X n n χ==---∑; (B) 2211()~()ni i X X n n χ=-∑;(C)222221(1)1()~(1)nii n S XX n χσσ=-=--∑;(D)22211()~()ni i X X n χσ=-∑ 5．设总体()2,~σμN X ，()n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，则2σ的无偏估计量是（ ）(A)()∑=--n i iX X n 1211; (B) ()∑=-n i i X X n 121; (C)∑=n i i X n 121; (D) 2X .二．填空（将答案填在空格处，每小题4分，共20分） 1．已知B A ,两个事件满足条件()()B A P AB P =，且()p A P =，则()=B P _________.2．3个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为111,,543，则此密码被破译出的概率是 . 3．设随机变量X 的密度函数为()2,01,0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，用Y 表示对X的3次独立重复观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X 出现的次数，则()2P Y == .4．设两个随机变量X和Y 相互独立，且同分布：()()1112P X P Y =-==-=，()()1112P X P Y ====，则()P X Y == . 5．设随机变量X 的分布函数为：()0,0sin ,021,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，则=A .三．计算1．（8分）盒中放有10个乒乓球，其中有8个是新的。