2014年秋季《数学分析选论》在线作业1. 计算⎰+++++L dz x dy z dx y )3()2()1(, 其中L是圆周2222R z y x =++, 0=++z y x ，若从x 轴正向看出，L是沿逆时针方向运行.解：平面0=++z y x 的法线方向单位向量为)31,31,31(，L 围成S 方程为⎩⎨⎧+++≤++,0,2222z y x R z y x 依斯托克斯公式得， ⎰+++++Ldz x dy z dx y )3()2()1(=⎰⎰+++∂∂∂∂∂∂Sx z y z y x dxdy dzdx dydz 3212233133R R dxdy dxdy dzdx dydz SSππ-=-=-=---=⎰⎰⎰⎰. 2. 试论下列函数在指定点的重极限，累次极限 （1）22222)(),(y x y x y x y x f -+=, )0,0(),(00=y x ；（2） ,1sin 1sin )(),(yxy x y x f +=)0,0(),(00=y x .解： (1) 注意到0),(lim 0=→y x f y )0(≠x , 0),(lim 0=→y x f x )0(≠y ， 故两个累次极限均为0，但是, ,1)1,1(lim =∞→nn f n ,0)1,1(lim =-∞→nnf n 所以重极限不存在. (2) 注意到 0),1(=y n f π,y y y n f 1sin ),)14(2(→+π)(∞→n , 故两个累次极限不存在. 此外，因为 |||||),(|0y x y x f +≤≤， 所以0),(lim)0,0(),(=→y x f y x .3. 设),(y x z z =是由方程yz zx ln =，求dz .解： 方程两边对x 求偏导，有xz y z y x z z x z ∂∂=∂∂-112, 因而 x z zx z +=∂∂. 方程两边对y 求偏导，有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂=∂∂-221y z y z y z y y z z x , 因而 ()yx z z y z +=∂∂2. 故 ()dy y x z z dx xz z dz +++=2. 4. 计算⎰⎰⎰+Vy x dxdydz22, 其中V 为由平面1=x , 2=x , 0=z , x y =,与y z =所围成.解：V 在oxy 平面上的投影区域为{}21,0:),(≤≤≤≤=x x y y x D , 于是2ln 21|)ln(21021220222102202122=+=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰dx y x y x ydy dx y x dz dy dx y x dxdydz x x y x V5. 设2)()(y x ydydx ay x +++是某可微函数的全微分，求a 的值. 解： 不妨设该可微函数为),(y x f z =，则按定义可得2)(y x ayx x z ++=∂∂，2)(y x y yz+=∂∂，由此知)(||ln )()(2x g y x xy x x g dy y x y z ++++=++=⎰. 从而又得 )()(2)()(122x g y x yx x g y x y y x xz'+++='++++=∂∂. 联系到上面第一式，有)()(2)(22x g y x y x y x ay x '+++=++ 或 y y x a y x y x y x ay x x g 222)(2)(2)()(+-=++-++=', 从而 2=a .6. 求曲面222z y x +=被柱面2y z =与平面2+=y z 所割下部分的面积.解：曲面方程表示为22z y x +=, 22zy y yx +=∂∂, 22zy z zx +=∂∂,于是所求面积 S=⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+==∂∂+∂∂+2122212229)2(2222)()(12dy y y dz dy dydz zxy x y y D7. 计算⎰++ABCDAy x dydx ||||，其中ABCDA 为以)0,1(A ，)1,0(B ，)0,1(-C ，)1,0(-D 为顶点的正方形封闭围线.解：AB 段：直线方程 x y -=1，10≤≤x ，0)1(||||01=-+-=++⎰⎰x x dy dx y x dydx AB .BC 段：直线方程 x y +=1，01≤≤-x ，2)1(||||10-=++-+=++⎰⎰-x x dx dx y x dy dx BC .CD 段：直线方程 x y --=1，01≤≤-x ，.0)1(||||01=++--=++⎰⎰-x x dx dx y x dy dx CDDA 段：直线方程 x y +-=1，10≤≤x ，.21||||10=-++=++⎰⎰x x dx dx y x dydx DA于是有， ⎰++ABCDAy x dydx ||||=0 .8. 求曲面xy z 22=被平面0,0,1===+y x y x 截下部分之曲面面积S. 解： 由xyz 22=得 zx z z y z y x /,/==，从而xyy x z y x z z yx 2)()(122222+=++++。

注意到该曲面上的点关于平面xoy 对称，且其上半部分在平面xoy 上的投影为区域x y x D -≤≤≤≤10,10:，从而有dy xyy xdx dxdy xy y x S x D)(2221010+=+=⎰⎰⎰⎰- dx xx x x ])1(31)1([22310-+-=⎰ 22)2/1(2π=Γ=.9. 求dy y e dx y y e I x C x ]1cos []sin [-+-=⎰, 其中C 是点A(2,0)到点O(0,0)的上半圆周.解：用ox 轴上直线段oA , 使上半圆周和直线段oA 构成封闭曲线. 设y y e y x p x -=sin ),(, 1cos ),(-=y e y x Q x .有1)1cos (cos =--=∂∂-∂∂y e y e yPx Q x x . 于是,由格林公式知dy y e dx y y e I x aboax ]1cos []sin [-+-=⎰=2π=⎰⎰Ddxdy .其中在直线段oA 上, 有0=y , )20(≤≤x , 则0]1cos []sin [=-+-⎰dy y e dx y y e x oAx .因此 -=2πI 2]1cos []sin [π=-+-⎰dy y e dx y y e x oAx10. 试讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+>+=+-0,0,0,),(2222122y x y x ey x f y x 在)0,0(处的可微性.解： 因为, ,0lim )0,0()0,(lim )0,0(2/1100==-='--→→x x x x e x xf x f f ,0lim )0,0(),0(lim)0,0(2/1100==-='--→→y y y y e y yf y f f 所以, ),()0,0(),(22)/(122y x y x e f y x f y x α+==-+-,其中 0),(222/122)/(1→=+=-+-ραρe y x e y x y x, 0→ρ， ,22y x +=ρ由此知),(y x f 在)0,0(处可微.11. 求dxdy xz y dzdx x dydz z x y I S )()(22+++-=⎰⎰, 其中S 是边长为a 的正方体的外侧. 解：利用高斯公式, 得dxdy xz y dzdx x dydz z x y I S)()(22+++-=⎰⎰⎰⎰⎰+=Vdxdydz x y )(⎰⎰⎰+=aa a dx z y dy dz 0)(420)21(a dy a ay a a =+=⎰ 12. 计算⎰-L ydx x dy xy 22，其中L 为四分之一)0,(222≥≤+y x a y x 的边界，依逆时针方向. 解： 设⎩⎨⎧==θθsin cos a y a x ，20πθ≤≤，则原式＝()θθθθθθθπd a a a a ⎰+202323sin sin cos cos sin cos ＝()84cos 1442sin 2424224a d a d a πθθθθππ=-=⎰⎰13. 设),(y x z z =由方程 zxy z =所确定，试求22xz∂∂.解： 对原方程取对数，得y z z x ln ln =，并该式两端对x 求导，有xzy x z z x z ∂∂=∂∂+ln ln ，即 x y z z z x z -=∂∂ln ln ， 再对上式两端对x 求导，得)1)(ln (ln ))(ln ln (()ln (1222-∂∂-∂∂-∂∂--=∂∂xzy z z x z x z z x y z x y z x z 2)1(ln )2ln(ln --=z x z z z .14．求表面积为2a , 而体积最大的长方体的体积. 解：设长，宽，高分别为zy x ,,，则问题变为求函数)0,0,0(>>>=z y x xyz V 的最大值，联系方程为()022=-++a xz yz xy . 设辅助函数为 ()()()22,,,a xz yz xy xyz z y x -+++=Φλλ，则有()()()()22202202202220x y z yz y z xz x z xy y x xy yz xz a λλλλΦ=++=⎧⎪Φ=++=⎪⎨Φ=++=⎪⎪Φ=++-=⎩解方程组得到6a z y x ===，因而最大体积为663a V=.15．求椭圆面632222=++z y x 在)1,1,1(处的切平面方程与法线方程.解：设632),,(222-++=z y x z y x F . 由于2,4,6x y z F x F y F z ===在全空间上处处连续, 在)1,1,1(处,2=x F ,4=y F ,6=z F 于是, 得切平面方程为0)1(6)1(4)1(2=-+-+-z y x ,即632=++z y x .法线方程为 312111-=-=-z y x16. 设⎩⎨⎧=+-=-+002222v u xy uv y x , 求x vx u ∂∂∂∂,. 解： 方程组两边对x 求偏导得到⎩⎨⎧=+-=--02202x x x x vv uu y uv vu x , 因此有()2224v u yuxv v x ++=，()2224v u yvxu u x+-=。

方程组两边对y 求偏导得到⎩⎨⎧=+-=--02202y y y y vv uu x uv vu y , 因此 ()()222224,24v u xvyu v v u xu yv u yy +-=++=17. 设)ln(2v u z +=, 而2y x e u +=, y x v +=2. 求xz ∂∂, yz ∂∂. 和dz解： 由于2y x e xu +=∂∂, 22y x yey u +=∂∂, x xv 2=∂∂, 1=∂∂yv , 于是)(222x ue vu x v v z x u u z x z y x ++=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+, )14(122++=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+y x uye vu y v v z y u u z y z . =∂∂+∂∂=dy y z dx x z dz ++++dx x ue v u y x )(222dy uye vu y x )14(122+++18. 设),(y x x f z =. 求22xz ∂∂, y x z∂∂∂2.解：这里z 是以x 和y 为自变量的复合函数, 它可写成如下形式),(v u f z =, x u =, yx v =. 由复合函数求导法则知vfy u f x v v f x u u f xz∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1. 于是][1)1(22222222xvv f x u u v f y x v v u f x u u f v f y u f x x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 22222212v fy v u f y uf ∂∂+∂∂∂+∂∂=,)1(2vfy u f y y x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂ ][112222222y v v f y u u v f y v f y y v v u f y u u f ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=.1222322vf y v f y x v u f y x ∂∂-∂∂-∂∂∂-= 19. 变换为球面坐标计算积分⎰⎰⎰--+-22222221010y x yx x dz z dy dx .解：积分区域变换为球面坐标为}20,40,20:),,{(πθπφθφ≤≤≤≤≤≤='r r V .于是,⎰⎰⎰--+-2222222101y x yx x dz z dy dx =dr r r d d 22224/02/0cos sin φφφθππ⎰⎰⎰πφφφππ15122cos sin 52224/0-==⎰d20. 设函数)(t f 连续，dv y x f z t F )]([)(222++=⎰⎰⎰Ω,其中h z ≤≤Ω0:，222t y x ≤+，求dtdF 和20)(lim tt F t +→. 解：因为区域Ω为柱状区域，被积函数中第二项为)(22y x f +，所以用柱坐标法比较方便．dv y x f zdv t F )()(22++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩdxdy y xf dzdxdy dzz t y x ht y x h)(222222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=rdr r f d h t h t)(3022023⎰⎰+=πθπrdr r f h t h t )(23223⎰+=ππ.于是, )(23223t htf t h dtdFππ+=. 利用洛必达法则, 有 )0(32)(2lim 3)(lim 220220hf h t t tf h h t t F t t ππππ+=+=→→. 21. 解答下列问题（1）设),,(y x P ),(y x Q 是光滑弧AB 上的连续函数，AB 长度记为l ，则⎰≤+ABlM dy y x Q dx y x p |),(),(|， }{max 22),(Q P M ABy x +=∈，(2) 设222:R y x L =+， ⎰++-=L R y xy x xdyydx I 222)(， 则0lim =+∞→R R I ， （3）设L 是曲线 22x x y -=上从)0,0(到)1,1(之线段，证明:1)]1(2[2=-+-=⎰ds x x x x y I L.解： (1) 注意到柯西不等式2/1222/1222/122)()sin (cos )(|sin cos |Q P Q P Q P +=++≤+αααα，⎰⎰+≤+≤ABABds Q P ds Q P I |sin cos ||)sin cos (|ααααMl ds M ds Q P ABAB=•≤+≤⎰⎰22。