对激励进行线性变换：
F0 0.627963 N (t ) u F (t ) 0.325057 sin t , m
T
代入方程（5.9-14）：
F0 t 1 1 (t ) （ 0.627963 ） sin sin 1 (t )d 0 1 m t cos[ F0 1 (t )] cos[ 1 (t )] 0.627963 d 0 2 1 m F0 0.627963 2 （sin t sin 1t ) 2 1 (1 ) m
9
n
例5.9-2： 系统受激励：
q1 k m k 2m k
q2
F (t ) 0 F0 sin t ，
T
求零初值下系统响应。 解：系统的运动方程：
F0 sin t
1 2 1 q1 0 1 0 q m k F sin t q q 0 2 1 2 2 2 0
(i ) q2 (t ) u2 i (t ) 0.394338 2 F0 2 （sin t sin 1t ) (1 )m 1 i 1 n
F 0.105662 2 0 2 （sin t sin 2t ) (2 )m 2
k k 其中， 1 0.796226 , 2 1.538188 . m m
(i )T
Mq 0， (i 1,2, , n)
其中i 0和 i 0是各正则坐标的初始位 移和初始速度。
对初始条件的响应 : i 0 i (t ) i 0 cosi (t ) sin i (t ) (i 1,2, n) （ 5.9 12 ）
i
4
对任意激励 Ni (t )，特解可以由卷积积分 给出：
8
q1 (t ) u1(i )i (t ) 0.459701 1 0.627963 F0 （ 1 cos1t ) 2 i 1 m 1 m F0 1 0.888074 (0.325057 ) 2 （ 1 cos2t ) m 2 m F0 [0.455295 （ 1 cos 1t ) 0.122009 （ 1 cos 2t )] k n F 1 (i ) q2 (t ) u2 i (t ) 0.627963 0.627963 2 0 （ 1 cos1t ) m 1 m i 1 F 1 0.325057 (0.325057 ) 20 （ 1 cos2t ) m 2 m F0 [0.622007 （ 1 cos 1t ) 0.044658 （ 1 cos 2t )] k k k 其中， 1 0.796226 , 2 1.538188 . m m
1.0 u , 1.366025
(1)
u
( 2)
, 0.366025
6
求得正则振型矩阵：
1 0.459701 0.888074 u 0.627963 0.325057 , m
对激励进行线性变换：
F0 0.627963 N (t ) u F (t ) 0.325057 u(t ), m
(t ) uT Kuη(t ) uT F (t ) uT Muη
(t ) Λη(t ) N (t ) η
（ 5.9 7 ）
T 式中Λ为对角线上元素为 i2的对角矩阵， N (t ) u F (t )
为与广义坐标向量 (t )相应的 n维广义力向量，即正则 激励。 方程（ 5.9 7 ）就是 n个解耦的单自由度运动 方程：
i (t )
1
i
N ( ) sin (t )d
0 i i
t
(i 1,2, n)
（ 5.9 13 ）
因此第 i个正则坐标的全解 i (t )： i 0 1 t i (t ) i 0 cosi t sin i t Ni ( ) sin i (t )d （ 5.9 14 ） 0 i i
F0 0.627963 N (t ) u F (t ) 0.325057 u(t ), m
T
代入方程（5.9-14）： F0 t 1 2 (t ) （ 0.325057 ） u( ) sin 2 (t )d 2 m 0
0.325057 F0 F0
已求得系统的固有频率和模态：
k k 1 0.796226 , 2 1.538188 . m m
1.0 u , 1.366025
(1)
u
( 2)
1.0 , 0.366025
10
求得正则振型矩阵：
1 0.459701 0.888074 u 0.627963 0.325057 , m
2 i i
解耦
q(t ) uη(t )
14
作业
5.13.
15
以上方程的通解为对应 齐次方程的通解 非齐次方程的特解。
齐次方程的解就是对初 始条件的响应（5.5节），
0 . 设原坐标的初始条件为 ：q0 , q
所以正则坐标的初始条 件为：
0 uT Mq 0 η0 uT Mq0， η
ηi 0 u
(i )T
（ 5.9 11 ）
Mq 0， η i 0 u
所以原坐标下的响应 q(t )：
q(t ) uη(t ) u(i )i (t )
i 1 n
（ 5.9 15 ）
是正则坐标的响应 η(t )的叠加。
5
例5.9-1： 系统受激励：
q1 k m k
q2
F (t ) 0 F0u(t ) ，u(t )为单位阶
T
跃函数，求零初值下系统响应。
上述响应包括稳态响应 和瞬态响应。 存在阻尼时瞬态响应将 很快 衰减， 若只考虑强迫振动的稳 态响应，则只取 sin t项。
13
模态叠加法小结：
η(t ) uT Mq(t ) N (t ) uT F (t )
耦合
物理空间
Kq F (t ) Mq
正则坐标空间
i Ni (t )
2m F u(t ) 0
解：系统的运动方程：
k
1 2 1 q1 0 1 0 q m k F u ( t ) q q 0 2 1 2 2 2 0
已求得系统的固有频率和模态：
k k 1 0.796226 , 2 1.538188 . m m
11
代入方程（5.9-14）： F0 t 1 2 (t ) （ 0.325057 ） sin t sin 2 (t )d 0 2 m t cos[ F0 2 (t )] cos[ 2 (t )] 0.325057 d 0 2 2 m
F0 0.627963 N (t ) u F (t ) 0.325057 sin t , m
T
0.325057 2 （sin t sin 2t ) 2 2 (2 ) m
F0
再由 q(t ) uη(t ) u(i )i (t ) 求得原坐标下的响应。
T
代入方程（5.9-14）：
F0 t 1 1 (t ) （ 0.627963 ） u ( ) sin 1 (t )d 0 1 m F 0.627963 2 0 cos1 (t ) t0 1 m
0.627963
F0
2 1

（ 1 cos1t ) m
7
i (t ) i2ηi (t ) Ni (t ) (i 1,2,, n) η
（ 5.9 8 ）
3
(t ) Λη(t ) N (t ) η
（ 5.9 7 ） （ 5.9 8 ）
i (t ) i2ηi (t ) Ni (t ) (i 1,2,, n) η
i 1 n
或： q j (t ) u (ji )i (t )
i 1
n
( j 1,2)
12
F0 q1 (t ) u (t ) 0.288675 2 （sin t sin 1t ) 2 (1 )m 1 i 1
n (i ) 1 i
F 0.288675 2 0 2 （sin t sin 2t ) (2 )m 2
2 2 2 2 m
cos2 (t ) t0
0.325057
n

（ 1 cos2t ) m
再由 q(t ) uη(t ) u(i )i (t ) 求得原坐标下的响应。
i 1
或： q j (t ) u (ji )i (t )
i 1
n
( j 1,2)
机械振动第五章
1
5.9 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加法
系统振动方程
(t ) Kq(t ) F (t ) Mq
（ 5.9 1 ）
其中q(t )为广义坐标 qi (t )(i 1,2,, n)组成的向量。
这是一组 n个常微分方程，
一般来说，上式是耦合 方程，包括弹性耦合和 惯性耦合，
要求特解不是容易的， 通过坐标变换，消除耦 合， 则方程组无耦合项，成 n个单自由度方程。
2
同样利用振型向量的正交性，进行坐标变换，将 得到解耦的方程组。
假设系统的固有正则振 型矩阵为 u，
用正则振型矩阵进行坐 标变换 q(t ) uη(t )，代入方程 (5.9 1)， 并用uT 左乘方程两边，得：