一、 一阶微分方程之可分离变量的微分方程()()=()()()()dy dy dy f x g y f x dx f x dx C dx g y g y ⋅⇒=⇒=+⎰⎰求下列方程通解22(1)()d ()d 0x x y x x y y y +-+=(2)sin()sin()y x y x y '++=- 2(3)sin (1)y x y '=-+二、 一阶微分方程之一阶线性微分方程一阶线性齐次方程()()0P x dx dyP x y y Ce dx-⎰+=⇒= 一阶非线性齐次方程()()()()()()P x dx P x dx P x dx dyP x y Q x y e Q x e dx Ce dx--⎰⎰⎰+=⇒=⋅+⎰ 求下列方程通解 d d (1)d d y y xy x y x x += d (2)(ln ln )d y x y y x x=- 3(3)()d 2d 0y x x x y --= 3(4)2d ()d 0y x y x y +-=2d 0y y ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦322363(6).32x x y y x y y +'=-+(7)xy y ' (8)(ln ln )xy y y x y '+=+ 321(9)0y x y e y +'+= 21(10);2y x y'=-(11)y x '+= 22(12)(3)d (13)d 0y x y x x y y -+-=22363(13)22x y x y x y y+-+'=- (14)xy y '+= d (15)d 2(ln )y yx y x =- 22d d (16)d d 0y y x y x x y y x y -++=+ (17)ln (ln 1)x y x y a x x '+=+()()()()()()()(),,,,:F x f x g x f x g x f x g x ∞=+∞'(19)设＝其中函数在－内满足以下条件()(),(0)0,()()2.x g x f x f f x g x e '==+=且三、 一阶微分方程之伯努利方程d ()()(0,1)d n yP x y Q x y n x+=≠ 1d d d ,(1),(1)()(1)()d d d n n z y z z y n y n P x z n Q x x x x --⇒==-+-=-令则2d (ln )d y y a x y x x+=（1） 33d (2)0d yx y x y x +-= 2(3)2ln d (ln 1)d 0x x y y y x x +-= (4)(ln 2)d d y x y x x y -=四、 二阶微分方程之可降阶的微分方程''1()y f x =、型()()''''12(),()().y u x y y f x u f x f x dx dx C x C ====++⎰⎰令则变为得到通解()()(2,n f x n =≥对于y 整数）型高阶微分方程也可这样求解 2cos x y e x '''=-求通解。
2(,)y f x y '''=、型''''''''(),(,)y (x)y ,dPy y y f x y P P y dx'''=====由于方程可以看做的一阶微分方程。
设则200(1)21, 3x x x y x y y y =='''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩求的解。
3(,)y f y y '''=、型'''''(),y .dy dy dy dPy P y P dx dy dx dy===⋅=可设则20.y y y '''-=（1）求的通解 20000,1yx x y e y y==''⎧-=⎪⎨'==⎪⎩（2）求的解。
五、 二阶微分方程之二阶常系数线性齐次方程'''0y py qy ++=22,+)0.+0.x xy e e p q p q λλλλλλ=+=+=设代入方程可得到（所以212+0p q λλλλ+=称为特征方程，其解称为特征根。
设特征根为，1212121x x y C e C e λλλλ≠=+、当二实根，通解为121212122()()p x xy C C x eC C x eλλλ-==+=+、当二实根，通解为1,2123(0)(cos sin ).x i y e C x C x αλαββββ±≠=+、当=为一对共轭根时，通解为(1)230y y y '''--= (4)(2)20y y y ''++=(4)(3)250y y y '''''-+= (5)(4)(4)0y y -=220d d 20d d (5)d 4,20d t s ss t t s s t t =⎧++=⎪⎪⎨⎪==-⎪=⎩ 2()2()0(6)(1)(1)1r f r r f r f f '''⎧+=⎨'==⎩ (7)0y a y ''+=20022,(8)0,0,40.,x x y y x x y y x y y x πππ==''+=≤⎧'===⎨''+=>⎩求微分方程满足条件处连续且可微的解在 六、 二阶微分方程之二阶常系数线性非齐次方程1()()x n f x p x e α=、型*'''2()()(2)()()()().x n y Q x e Q x a p Q x a pa q Q x p x α=+++++=设为一个特解，代入等式得20,()n a pa q Q x ++≠①若即a 不是特征根，可设为次多项式1011()n n n n n Q x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++将其代入上式，令等式两端x 的同次幂的系数相等，得到以01,,,n a a a ⋅⋅⋅为未知数的联立方程组，最后确定这些系数，求出特解*()x n y Q x e α=2*=0,20,()(),()xn n a pa q a p a Q x xQ x y xQ x e α+++≠==②若但即是单特征根，可设求出特解22*2=0,2=0,()(),()xn n a pa q a p a Q x x Q x y x Q x e α+++==③若且即是二重特征根，可设求出特解*()(0,1),,2k ax n a y x Q x e k k ==综上，当是特征方程的重根时可设特解233.1y y y x '''--=+（1）求方的一个特解程25.6x y y y x e '''-+=（1）求方的通解程[]2()()cos ()sin x l m f x e P x x P x x αββ=+、型利用欧拉公式cos 2ix ix e e x -+=，sin 2ix ixe e x --=](1)(2)*()cos ()sin k x n n y x e R x x R x x αββ⎡=+⎣可得到特解，{}max ,,()n l m k i i ααβαβ=±±在或不是特征根时为零，是单特征根时为1.上述两个结论也可推广到高阶方程的情形.c .os 2y y x x ''+=（1）求方的一个特解程 918cos30s .3in 3y y x x ''+=-（2）求方的通解程(4)(4)2:sin 3sin x y y y x y y x e x''++=''+=++（3）设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式2(1),.x x x y a y b y c e y e x e -'''++==+（4）已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解(5)25sin 2y y y x '''++=求方程的通解.0(),()sin ()()().xf x f x x x t f t dt f x =--⎰(6)设二阶导数连续求且满足方程()(,)0,()(,),y y x y x x y y y x '=-∞+∞≠==(7)设函数内具有连续二阶是导数且在的函数232d d ()(sin )()0()d d ;x xx x y y y x y x y y ++=①试将＝所满足的微分方程变换为＝所满足的微分方程3(0)0,(0)2.y y '==②求变换后的微分方程满足初始条件的解七、 微分方程的应用（1）一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子8m ,另一端离钉子12m,如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间。
（2）从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深y 与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为m ,体积为B ,海水比重为ρ，仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k ( k > 0 ) ,试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y (v ).八、 齐次方程d ().d y yx xφ=形如的方程叫做齐次方程可化为齐次方程的方程221111d (0)d y a x by c c c x a x b y c ++=+≠++ 111.,,(),,d d ,d d ,a b x X h y Y k x X y Y a h bk ≠=+=+==当时则作变换为待定常数 11d ()d Y a X bY X a X b Y+=+原方程化为齐次方程 111d 2.,()d a b v v c a b a b x v c λλ+===++原方程可化为可分离时变量方程当2d 4d 65x y x y x x y y=++⎧=⎪--⎨⎪=-⎩求解九、 二元函数的极限0,,(x,y),,,D P D f A εδ设二元函数的定义域为是的聚点若存在常数对任意正数总存在正数对一00(,δ),()-ε,()P D U P f P A P A f P P ∈<→切都有则称为函当时的极数限，记作lim ()()P P f P A n →=也称为重极限lim (,)lim (,)x x y y f x y A f x y A ρ→→→===二元函数的极限可写作：2222221(,)()sin(0)lim (,)0.x y f x y x y x y f x y x y →→=++≠=+（1）设求证：1100sin sin ,0(,)lim (,)0.0 ,0y x x y x y x y f x y f x y x y →→+≠⎧⎪==⎨=⎪⎩（2）设求证：()220, )0.(,x yf x y x y=+在（3）讨论函数点的极限00x y →→（4）求22(,)f x y =（5）求函数十、 二阶偏导数2x y z e +=（1）求函数的二阶偏导数。