不等式的证明
复习
• 不等式证明的常用方法: • 比较法、综合法、分析法
反证法
先假设要证明的命题不成立，以此为出发点, 结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等 ，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确 ，从而间接说明原命题成立的方法。
例1.已知x，y f 0，且x y f 2.试证： 1 x ，1 y 中至少有一个小于2.
a+b
a
b
.
1 a b 1 a 1 b
ab
a
b
法１：
1 a b 1 a 1 b
证明：在 a b 0 时，显然成立.
当 a b 0 时，左边
1 1 1
ab
1 1
ab
|a|
b
1 1 a b 1 a b 1 a b
ab
ab
.
1 a 1 b
法２： Q 0 a b a b ,
a b a b 11
放缩法
▪ 在证明不等式过程中，有时为了证明 的需要，可对有关式子适当进行放大或缩 小，实现证明。例如：
▪ 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) ▪ 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
▪ 这种证明方法,我们称之为放缩法。 ▪ 放缩法的依据就是传递性。
例1、若a, b, c, dR+，求证：
24
24
(b a )2 2
abc
(c a )2 2
小结
• 在证明不等式过程中，有时为了证明 的需要，可对有关式子适当进行放大或缩 小，实现证明。例如：
• 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) • 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
• 这种证明方法,我们称之为放缩法。 • 放缩法的依据就是定理2（传递性性质）
1 a b c d 2 abd bca cdb dac
证：记m =
a b c d abd bca cdb dac
∵a, b, c, dR+
m
a
b
c
d
1
abcd abca cdab dabc
同时 m a b c d 2 ab ab cd dc
∴1 < m < 2 即原式成立
例2已知a,b是实数，求证:
➢ 与题设矛盾
➢ 若a = 0，则与abc > 0矛盾，
➢ ∴必有a > 0
➢ 同理可证：b > 0, c > 0
例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,
不可能同时大于1/4
证明：设(1 a)b>1/4, (1 b)c>1/4,
(1 c)a>1/4,
则三式相乘： (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a > 1 ① 64
又∵0 < a, b, c < 1
∴0
(1
a)a
(1
a) 2
a2
1 4
同理： (1 b)b 1 (1 c)c 1
4
4
1
以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 64
与①矛盾∴结论成立
•
再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结
•
论成立的方法。
n
2
2
1
∴n > 2时, log n (n 1) log n (n 1) 1
课堂练习
• 2、若p>0,q>0,且p3+q3=2, • 求证：p+q≤2
课堂小结
•
证明不等式的特殊方法:
• （1）放缩法：对不等式中的有关式子进行
•
适当的放缩实现证明的方法。
• （2）反证法：先假设结论的否命题成立，
1 1 1 1
23
n
2[( 1 0) ( 2 1) ( 3 2) ( n n 1)] 2 n.
例4、巳知：a、b、c∈ R ，求证：
a 2 ab b2 a 2 ac c 2 a b c
略
解 a2 ab b2 a2 ac c2
(b a )2 3 a2 (c a )2 3 a2
1
1
1 a b 1 a b
1 a b
1 1
ab
1 a | |b 1 a b
|a| b
ab .
1 a b 1 a b 1 a 1 b
法３：函数的方法
例3求证：
2（ n+1-1）<1+ 1 1 ... 1 2 n(n n*)
23
n
Q1 2
2
2( k k 1), k N *
k 2 k k k 1
课堂练习
1、当 n > 2 时，求证：log n (n 1) log n (n 1) 1
证：∵n > 2 ∴log n (n 1) 0, log n (n 1) 0
log
n
(n
1)
log
n
(n
1)
log
n
(n
1)
2
log
n(n1) 2log n (n2 2
1)
2
log n 2
yx
例题
➢例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，
➢
abc > 0， 求证：a, b, c > 0
➢ 证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
➢ 又由a + b + c > 0, 则b + c > a > 0
➢ ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0