3) 证明 X(t)=N1(t) －N2(t)，t>0,不是泊松过程.
解 1 ） m X ( t ) E [ N 1 ( t ) E [ N ] 2 ( t ) ( 1 ] 2 ) t ,
R X ( s , t ) E { N 1 ( s [ ) N 2 ( s ) N 1 ( ] t ) N [ 2 ( t )] E [N 1(s)N 1(t) ]E [N 2(s)N 2(t)] E [N 1(s)N 2(t) ]E [N 2(s)N 1(t)]
e tP n tnt
n !
C
利用初始条件 Pn00,可证得
Pntnt!n et
对一切n≥0均成立.
定理证明反之亦然,得泊松过程的等价定义：
定义2′设计数过程{N(t),t≥0}满足下述条件： (1) N(0)=0；
(2) N(t)是独立增量过程；
(3) 对一切0≤s<t, N(t) －N(s) ～P(λ(t－s)),即
随机变量的顺序统计量U(1),U(2), …,U(n)有相 同分布.
2. 时间间隔与等待时间的分布
N(t)
是跃度为1
的阶梯函数
t
W1 W2 W3
W4
…
用Tn表示事件A第n－1次出现与第n次出现的 时间间隔.
n
记 WnTi, 则T i W i 1 W i
i1
称Wn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间).
定理设1 {Tn, n≥1}是参数为λ的泊松过程 {N(t), t≥0}的时间间则隔{T序n, 列n≥，1}相互 独立同服从指数分布，且E{T}=1/λ.
2) 根据泊松分布的可加性知
X(t)=N1(t) +N2(t), t>0, 是强度为λ1+λ2的泊松过程.
独立和的 特征函数
3) X(t)=N1(t) －N2(t)的特征函数为 X ( u ) e 1 t x i e u 1 t p ie } u ( { 1 2 ) t }
由分布函数与特征函数的一一对应的惟一性 定理知X(t)不是泊松过程.
=Po(t)[1－λh+o(h)]
ห้องสมุดไป่ตู้
P 0 t h h P 0 t P 0 t o h h 令 h 0 ,得 dd 0P tt P 0t
P 001 , 条 1 件 N 00
解p 0 得 ( t) e t, t 0 .
2o 当n≥1, 根据全概率公式有
p n ( t h ) p n ( t ) p 0 ( h ) p n 1 ( t ) p 1 ( h )
证 记 P n ( t ) P N ( t ) n P [ N ( t ) N ( 0 ) n ]
P { N ( t 0 t ) N ( t 0 ) n }( 1 )
1o 由条件(2)～(4)，得：
Po(t+h)=P{N(t+h)=0}=P{N(t)=0, N(t+h) － N(t)=0｝ = P{N(t)=0} P{ N(t+h) － N(t)=0}
称λ为事件的 到达率
λ是单位时间内事件出现的平均次数. 均方差函数 C(s,t)=λmin(s,t)，
相关函数 R(s,t)=λmin(s,t)+λ2st.
证：因泊松过程{N( t ), t≥0)是平稳独立增量过程，
不妨设 t > s >0
R(s,t)=E{N(t)N(s)}= E{N(s)[N(t) －N(s)+ N(s)]}
P{N(s)=k N(τ)=n}, 0<k<n,0<s<τ
解原P 式 N (s)k,N ()n
P {N ()n }
P N ( s ) k ,N ( ) N ( s ) n k n ! e ( ) n
e s( s)ke ( s)[ (s)n ]kn !e ( ) n
t
t+h
](
]
p n ( t h ) ( 1 h ) p n ( t ) h n 1 ( t ) o p ( h )
P n t h h P n t P n t P n 1 t o h h
令 h 0,得 dnP t P n t P n 1 t
dt
两边同乘以eλt 后移项整理得
d [e t d P n (t t) ] e tp n 1 (t)
(2 )
当n=1, 则
d[ed tP1t(t)]etP0tetet P100
解得 p 1 ( t) t e t
假设 P n1t n t n 1 1 !et
代入(2)式有
成立
d[etd P n(tt) ]etpn1(t) ((n t)1 n )1!
(2) N( t ) 取非负整数值； (3) 如果s < t，则N( s )≤N( t )；
(4) 对于s < t, N(t) －N(s)表示时间间隔(s, t]内事
件出现的次数.
)
)
s
t
一类很重要的计数过程是Poisson过程.
定义2.设计数过程{N( t ), t≥0} 满足： (1 )N(0)=0; (2) 是平稳独立增量过程； (3) P{N(h)=1}=λh+o(h), λ>0；
k !
(n k)!
n! sk1snk k!(nk)!
C n k s k 1 s n k, k 0 ,1 ,2 , ,n . 二、齐次泊松过程的几个结论
1. 数字特征
因 对 t0,N(t)～P(λt).
均值函数 m t E N t t 方差函数 D tt
有E N tt
证 因Wn是事件A 第 n次出现的等待时间,故 ｛Wn≤t}={N(t)≥n}={(0, t)内A至少出现n次}
F w n(t)P W ntk n k t!ket,t0
fw n t F W n t
k n
tk 1e t
k 1!
k n
tke t,
k!
et tn1, t0.
(n1)!
3. 到达时间的条件分布
定理设3{N( t ),t≥0}是Poisson过程，已知在
(0, t]时间内A出现n 次,这n 次到达时间W1,W2,…,
Wn的联合条件分布密度为
f(t1,t2, ,tnN(t)n) tnn !, 0,
0t1 tn 其.他
注 即与n个相互独立同服从[ 0, t]上均匀分布
(4) P{N(h)≥2}=o(h). 称{N( t ),t≥0)是参数(或速率,强度)为λ的齐次 泊松过程. 定理：齐次泊松过程{N( t ),t≥0}在时间间隔 (t0, t0+t]内事件出现n 次的概率为:
P [N (t0 t) N (t0 ) ]n ( n t! )n e t,n 0 ,1 ,2 ,
一计数过程与泊松过程
交通中事故流； 细胞中染色体的交换次数，… 均构成以时间顺序出现的事件流A1,A2, … 定义1：随机过程{N(t), t≥0}称为计数过程 (Counting process),如果N(t)表示在[0, t]内事 件A 出现的总次数.
计数过程应满足： (1) N( t )≥0;
= P{N(t) －N(0)=0}= e－λt.
即 F n t P T n t 1 e t , t 0 .
定理参2 数为λ的泊松过程{N(t),t≥0},事件A第 n 次出现的等待时间服从Γ分布,其概率密度为：
fWnt0,et
(t)n1 ,
(n1)!
t0; t0
注：在排队论中称Wn 服从爱尔朗分布。
= E{N(s)[N(t) －N(s)]}+E[ N2(s)]
=E{N(s)}E{N(t) －N(s)}+E[ N2(s)]
s t s [s s 2 ] s 2 s
C ( s , t ) R ( s , t ) m ( s ) m ( t ) s 2 s s t t
R N 1(s,t)R N 2(s,t)E [N 1 (s)E ][N 2(t)] E [N 2(s)E ][N 1 (t)]
1 m s , t ) 2 1 s i n 2 t m s , ( t ) 2 2 i s 2 n t 1 2 s ( 1 2 ) m s , t ) ( i 2 1 n 2 2 ) s 2 ( t 1 2 s . t
P[N(t)N(s)]k[(ts)k ]e(ts),
k!
k0,1,2,
注 特别有
P { N ( t ) k } P [ N ( t ) N ( 0 ) k ]
[t]k et, k! (k 0,1,2,)
EX.1 设{N( t ), t≥0)是参数为λ的泊松过程, 事件A在(0,τ]时间区间内出现n次，试求:
=P{N(t+s) －N(s)=0}
T2
= P{N(t) －N(0)=0}
T1=s t+s
= P{N(t)=0}= e－λt
与s 无关
故T2与T1相互独立，且T2也服从均值为1/λ 的指数分布.
(3) 对于一般 n＞1 和t＞0,以及 r1，r2，…，rn-
1>0,有
P{Tn>t |Ti=ri ,1≤i≤n－1} =P{N(t+r1+,…,+rn－1) －N(r1++r2+…+rn－1)=0}
证 (1) 因 {T1>t}={(0, t)内事件A不出现}
P{T1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
F T 1 t 1 P T t 1 e t ,
即T1 服从均值为1╱λ的指数分布. (2) 由泊松过程的平稳独立增量性,有
t 0
P{T2>t|T1=s}=P{在(s,t+s)内事件A不出现|T1=s }