等边三角形
重难点
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧︒︒⎪⎩⎪⎨⎧︒︒的等腰三角形、一个角为、两个角是、三边都相等判定仍与原图形重合旋转、旋转不变性，绕中心、轴对称，三条对称轴、三边相等，三角都是性质等边三角形603602112032601 例题分析
例1、如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为
_________
方法：平移的性质、等边三角形的性质
举一反三：
1、如图，已知六边形ABCDEF 的每个内角都是120°且AB=1，DE=2，BC=CD=8，求此六边形的周长。

例2、如图，△ABC 为正三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD ，以CD 为一边作正三角形CDE ，连接AE ，判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由。

方法：与等边三角形有关的，一般都会涉及旋转变形。

举一反三：
2、如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边△CDE ，使点E 、A 在直线
DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．
例3、如图，扇形ODE 的圆心角为120°，正三角形ABC 的中心恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形ODE 内。

（1）请连接OA 、OB ，并证明△AOF ≌△BOG ；
（2）求证：△ABC 与扇形ODE 重叠部分的面积等于△ABC 面积的3
1
方法：（1）掌握正多边形的中心与中心角的性质；
（2）对于动点问题或条件不确定的问题都需分类讨论，
本题△A0F 是否存在（圆心角与中心角是否重合）需要讨论。

举一反三：
3、如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ．
（1）求∠OAD 的度数；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？
例4、如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°-
2
1∠BDC ． 求证：AC=BD+CD ．
方法：☆难度在于对条件“∠ADB=90°-2
1∠BDC ”的理解， 以及“截长补短”是证明线段和差关系的主要方法。

举一反三：
4、如图，△ABC 与△ABD 都是等边三角形，点E,F 分别在BC,AC 上，BE=CF ，AE 与BF 交于点G ．
（1）求∠AGB 的度数；
（2）连接DG ，求证：DG=AG+BG ．
作业：
1、如图，在等边△ABC 中，点O 在AC 上，且AO=3，CO=6，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是_______
2、探索与证明：
（1）如图1，直线m 经过正三角形ABC 的顶点A ，在直线m 上取两点 D ，E ，使得∠ADB=60°，∠AEC=60°．通过观察或测量，猜想线段BD ，CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明；
（2）将（1）中的直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使∠ADB=120°，∠AEC=120°．通过观察或测量，猜想线段BD ，CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．
3、将两个等边△ABC和△DEF（DE＞AB）如图所示摆放，点D是BC上的一点（除B、C点外）．把△DEF绕顶点D顺时针旋转一定的角度，使得边DE、DF与△ABC的边（除BC边外）分别相交于点M、N．
（1）∠BMD和∠CDN相等吗？
（2）画出使∠BMD和∠CDN相等的所有情况的图形；
（3）在（2）题中任选一种图形说明∠BMD和∠CDN相等的理由。

4、如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为___________。