3.1导数的概念
1、曲线的切线 2、瞬时速度
由上述两个意义抽象出导数的概念，
并由此得出求导数的方法。
求函数 y f(x)在点 x 0处的导数方法
（1）求函数的增量
yf(x0 x)f(x0)
（2）求平均变化率
yf(x0x)f(x0)
x
x
（3）求极限，得导数
f
(x0)
limy x0 x
（3） y3x3six n4coxs
y 9 x2six n 3 x 3co x 4 ssixn
例2、求下列函数的导数
（1）
y

x x2 1
（2）
y

1 x2 (1 x2 )2
y 1cosx
x 1
ysinx(xco1x)s2x1
（3）
y 1sinx 1cosx
y
cosxsinx1 (1cosx)2
例2、圆柱形金属饮料罐的容积一
定，它的高与底面半径应怎样选
取，才能使所用料最省？
当 h2R时，
Ro
R3 V
h 2 3V
h
2
2
S(R)2V2R232V
R
例3、已知某商品生产成本 C与产
量 q的函数关系为 C1004q，
价格 p与 q的函数关系式为： p 25 1 q ，求产量q为何值
f(x)f(x0)
则称 f (x0 ) 是 f (x) 函数的一个极大值， 记为 yminf(x0)
一般地，当函数y f(x)在点 x 0 处连续，
判断是极大值和极小值的方法是：
（1） 如果在点 x 0 附近的左侧 f(x)0，
右侧 f(x)0，那么 f (x0 ) 是极大值；
（2） 如果在点 x 0 附近的左侧 f(x)0，
8
时，利润 L最大？
分析：利润 L等于收入 R减去成本C
Rqpq(25 1q)
LRC1q22q 1 8100
q

8
84时，Lman782
(0q20)0
例1、求下列函数的导数
（1） y3x3coxs
y9x2sinx （2） y(3x31)2 (x2)
y1x5 41x8 22x
导数的几何意义：
求函数 y f(x)在点 x 0处的导数
的几何意义是：
曲线 y f (x)在点 P(x0, f(x0))处
的切线的斜率为 k f(x0) 切线方程是：
y f(x 0 )f(x 0 )x ( x 0 )
3.2 常 用 的 几 个 导 数 公 式
（1） C0 常数的导数为0
(,2)和 (1,) 是增函数 (2,1) 是减函数
3.8 函 数 的 极 值
一般地，函数 f (x) 在点 x 0 处有定义， 如果对 x 0 附近的所有的点，都有
f(x)f(x0)
则称 f (x0) 是 f (x)函数的一个极大值， 记为 ymanf(x0)
如果对 x 0 附近的所有的点，都有
（1） 如果 f (x)0 ，则为增函数； （2） 如果 f (x)0，则为减函数； （3） 如果 f (x)0，则为常数函数；
例1、求下列函数的单调区间
（1） f(x)2x36x27 (,0) 和 (2,) 是增函数 (0,2) 是减函数
（2） f(x)2x33x21x2 1
右侧 f(x)0，那么 f (x0 ) 是极小值；
注意：导数为0的点不一定是极值点， 而极值点一定有导数为0．
1、求下例函数的极值
（1）
y1x3 4x4 3
（2） y(x21)31
（3）
y

x x2 3
（4） y1 x2 1
3.8 函数的最大值与最小值
最大值与最小值定理
运用举例
例1、求下列函数的最值
（1） yx42x25 x[2,2]
（2） y4x2(x22)2 x[2,2]
例1、在边长为60cm的正方形铁皮 的四角切去相等的小正方形，再 把它的边沿虚线折起，做成一个 无盖的方底箱子，箱底边长为多 少时，箱子的容积最大？最大容 积是多少？
x40时，yman16000 x
（2） [ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )

（3）gf((xx))f(x)g(xg)2(xf)(x)g(x)
(g(x)0)
3.4 复合函数的导数
设函数 u(x) 在点 x处有导数 ux (x)
一般地，在闭区间[ a , b ]上连续函数 y f(x)在[ a , b ]上必有最大值与最
小值．
设函数 y f(x)闭区间 [ a , b ]上连续
在(a, b)内可导，求 f (x) 在 [ a , b ]上 最大值与最小值的步骤：
（1）求 f ( x)在 [ a , b ]内的极值；
（2）将 f ( x)的各极值与 f (a) ，f (b) 比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值；
函数 yf(u)在点 x的对应点 u处有导数
yu f(u) ，则复合函数 yf((x))
在点处也有导数，且 yx yu ux
或写作 fx ((x) )f(u)(x)
1、求下列函数的导数
（1）
y

1 (1 3x)3
（2）
5
y x 1 x
2、求下列函数的导数
（1） ysin x2si3nx
（2）
yxcox2ssi3 nx()
6
（3） ysin3(4x)
3
3、求下列函数的导数 （1） yx2ln 2x(23x1 )
（2） ye2xco3sx
（3） ylg(si2nx)
3.6 函 数 的 单 调 性
一般地，设函数y f(x)在某个区间 内可导，
（2） (xn)nபைடு நூலகம்n1 (nQ)
（3） (sixn )coxs （4） (co x)ssix n
（5） (ex) ex
(ax)axlna (a 0 且 a 1)
（6） (ln x) 1
x
(loagx)
1xloga e
(a 0
且
a 1)
3.3 函数的和、差、积、商的导数 （1） (f( x ) g ( x ) ) f( x ) g ( x )