《工程数学》试题（A 卷）（考试时间： 90 分钟）一、选择题（共30分，共10小题，每小题3分）1.函数293x x x y -++=的定义域是（ ）． A.{}3|-≥x x ； B.{}3|≤x x ；C.{}33|≤≤-x x ； D .{}33|≤<-x x .2.函数x y =在0=x 处( ) ．A.连续且可导；B.不连续且不可导； C 不可导但连续；D.不连续但可导.3.x x arctan lim +∞→=﹙ ）. A.0； B.不存在 ； C. 2π- ； D.2π. 4.若11,1,22()3,1,1,1x x f x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩，则1lim ()x f x →=（ ）. A.2； B. 1； C.1-； D.不存在.5.函数11)(-=x x f 的水平渐近线是（ ）. A. 1=x ； B. 1-=y ； C. 0=x ； D. 0=y .6.函数()y f x =在x 处可导是该点可微的（ ）条件.A.必要；B.充分；C.充要；D.无关.7.若),)(b a x f 在（内二阶可导，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则在),(b a 内函数（ ）．A.单调减，凸函数；B. 单调增，凸函数；C. 单调减，凹函数；D. 单调增，凹函数.8.函数22,1(),1x x f x x x >⎧=⎨≤⎩，在点1x =处（ ）.A.不连续；B.连续；C. ()2f x '=可导且；D.无法判断.9.设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()()f x g x ≥，则（ ）.A.()d ()d b b a a f x x g x x ≥⎰⎰ ； B.()d ()d b b a a f x x g x x ≤⎰⎰； C.()d ()d f x x g x x ≥⎰⎰ ； D.()d ()d f x x g x x ≤⎰⎰.10. 曲线x y x y ==与2所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为（ ）.A. ⎰-1024d )(x x x π； B. ⎰-1042d )(x x x π；C. ⎰-102d )(y y y π；D. ⎰-102d )(y y y π.二、填空题（共20分，共5小题，每小题4分）1．函数654)(22+--=x x x x f ，则2=x 是_______间断点，3=x 是 _______间断点.2. 复合而成和是由函数函数 e arcsin x y =．3．点()1,0是曲线b ax x y +-=233 的拐点，则=a ______,=b ______.4. 设 ()f x 的一个原函数为1x ，则=)(x f .5. ⎪⎩⎪⎨⎧==t ty x 2e e ,=x y d d __________.2.已知y x x y '+=求,cos sin 22.三、计算题（共42分，共6小题，每小题7分）1.求x x x 2)51(lim +∞→2.已知y x x y '+=求,cos sin 22.3. 已知.d ,2cos e 2y x y x 求=4.求x x x d e 2⎰.5.求⎰exdx x 1ln .6.求由曲线2,,1===x x y x y 围成的平面图形的面积.四、证明题（共8分，共1小题，每小题8分）1．证明不等式()()0,1ln 1><+<+x x x x x.《工程数学》试题（B 卷）（考试时间： 90 分钟）一、选择题（共30分，共10小题，每小题3分）1．函数242y x x x -++=的定义域是（ ）． .A {}2|-≥x x ； B.{}2|≤x x ；C.{}22|≤≤-x x ； D . {}22|≤<-x x 2． 当0→x 时，下列变量为无穷小的是（ ） A. ;cos x x B. ;sin xx C.;12-x D..sin 1x - 3．x x arctan lim ∞→=﹙ ﹚． A.0 ； B.不存在 ； C. —2π ； D.2π. 4．若⎩⎨⎧>-≤=1,21,)(2x x x x x f ，则1lim ()x f x →=（ ） .2;A .1;B .1;C - .;D 不存在5．函数xx f 1)(=的水平渐近线是（ ）. A. 1=x B. 1-=y C. 0=x D. 0=y6．函数()y f x =在x 处可导是该点连续的（ ）条件.;A 必要 .;B 充分 .;C 充要 .;D 无关7.若),)(b a x f 在（内二阶可导，且0)(,0)(///>>x f x f ，则在),(b a 内函数（ ）．A.单调减，凸函数B. 单调增，凸函数C. 单调减，凹函数D. 单调增，凹函数 8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=1,21211,)(2x x x x x f ，在点1x =处（ ）A.连续且可导；B.不连续且不可导； C 不可导但连续；D.不连续但可导.9．设函数()f x 在[,]a b 上连续，则（ ）dx x f dx x f A b a b a ⎰⎰≤)()(. dx x f dx x f B ba b a ⎰⎰≥)()(. dx x f dx x f C b a b a ⎰⎰=)()(. dx x f dx x f D ba b a ⎰⎰>)()(.10. 曲线12==x x y 与及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为（ ）A. ⎰104dx x π B. ⎰102dx x π C. ⎰10ydy π D. ⎰102dy y π 二、填空题（共20分，共5小题，每小题4分）1．函数231)(22+--=x x x x f ,则2=x 是_______间断点，1=x 是 _______间断点. 2. 复合而成和是由函数函数 sin x e y =．3．点（1，3）是曲线y=23bx ax + 的拐点，则a=______,b=______.4. 设 ()f x 的一个原函数为x sin ，则=)(x f .5. ⎩⎨⎧==3x bty at ,=dx dy __________. 三、计算题（共42分，共6小题，每小题7分） 1.x x x2)31(lim +∞→ 2.已知')),ln(ln(ln y x y 求=.3. 已知.dy ,2sin 求x x y =4.求dx xe x ⎰. 5.求⎰-2024dx x .6.求由曲线0,1,2===y x x y 围成的平面图形的面积.四、证明题（共8分，共1小题，每小题8分）1．证明：当x x x 211,0+>+>时一、单项选择题（共30分，共10小题，每小题3分）1、D2、C3、D4、B5、D6、C7、A8、A9、A 10、B二、填空题（共20分，共5小题，每小题4分）1、可去（或者第一类）；无穷（或者第二类）2、x u e y u arcsin ,==；3、a=0,b=1；4、21x-；5、t 2e . 三、计算题（共42分，共6小题，每小题7分） 1..7(5())5111(lim (3()5111(lim )51(lim 101051)51(102分）分）分）e x x x x x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→ 2..7(sin 2cos sin 24()(sin )(sin sin 22'22''分）分）x x x x x x x x y -=-= 3..7()2sin 2(cos 23(2cos 2cos 222分）分）dx x x e x d e xdedy x x x -=+= 4. C e x d e dx e x dx xe x x x x +===⎰⎰⎰2222215)((213()(212'2分）分）.（7分） 5. 1ln ex xdx ⎰=211ln 2e xdx ⎰（3分）=2221111111ln 2244ee x x x dx e x -⋅=+⎰(7分). 6..72ln 235(|)ln 21(3()1(21221分）（分）分）-=-=-=⎰x x dx x x S 四、证明题（共8分，共1小题，每小题8分） 1、证：令f(x)=ln(1+x), 在[]x 0，上连续,在（0，x ）内可导， )(x f '=x 11+,（2分） 由拉格朗日中值定理，在（0，x ）内至少存在一点ξ，使得ξ+=-+-+110)01ln()x 1ln x （（4分）有 ln(1+x)=ξ+1x ,又 0<x <ξ, 1<1+x +<1ξ, x x x x <+<+ξ11,（7分） 所以， x x x x <+<+)1ln(1 （8分）一、单项选择题（共30分，共10小题，每小题3分）1、D2、C3、B4、B5、D6、B7、D8、C9、A 10、A .二、填空题（共20分，共5小题，每小题4分）1、无穷（或者第二类）；可去（或者第一类）2、x u e y u sin ,==；3、29,23=-=b a ；4、x cos ；5、a bt 23.三、计算题（共42分，共6小题，每小题7分） 1..7(5())3111(lim (3()3111(lim )31(lim 6631)31(62分）分）分）e xx x x x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→ 2..7(1ln 1)ln(ln 16()(ln ln 1)ln(ln 13())(ln(ln )ln(ln 1'''分）分）分）x x x x x x x x y ===3..7()2cos 22(sin 3(2sin 2sin 分）分）dx x x x x xd xdx dy +=+=4. .7(4()(''分）分）C e xe dx e x xe dx e x dx xe x x x x x x +-=-==⎰⎰⎰5.令2,2;0,0,cos 2sin 2π======t x t x tdt dx t x 当当则.（1分） ⎰-2024dx x =tdt ⎰202cos 4π（3分）=⎰+20)2cos 1(2πdt t （4分） =20|)2sin 21(2πt t +(6分)=π.（7分）） 6..7315(|313(103102分）（分）分）===⎰x dx x S四、证明题（共8分，共1小题，每小题8分）1、证：令x x x f 211)(+-+=, )(x f '=02x 1121>+-+x ,0>x （3分）0)0()(,0],0[)(=>>f x f x x x f 单调递增，在，（6分）,0211)(>+-+=x x x f 即x x 211+>+.（8分）。