2017年湖北省武汉市中考数学模试卷二一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．1．（3分）实数的值在（）A．0与1之间B．1与2之间C．2与3之间D．3与4之间2．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣13．（3分）计算（a﹣2）2的结果是（）A．a2﹣4 B．a2﹣2a+4 C．a2﹣4a+4 D．a2+44．（3分）有两个事件，事件A：掷一次骰子，向上的一面是3；事件B：篮球队员在罚球线上投篮一次，投中．则（）A．只有事件A是随机事件B．只有事件B是随机事件C．事件A和B都是随机事件D．事件A和B都不是随机事件5．（3分）下列运算正确的是（）A．x4•x4=x16B．（x5）2=x7C．（﹣2a）2=﹣4a2D．3x2﹣x2=2x26．（3分）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′．若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（b，a） C．（﹣b，a）D．（b，﹣a）7．（3分）如图的几何体是由一些小正方形组合而成的，则这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．8．（3分）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.89．（3分）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）、…根据这个规律，第2016个点的坐标为（）A．（45，13）B．（45，9）C．（45，22）D．（45，0）10．（3分）如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO 分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=，则弦BC的最大值为（）A．2 B．3 C．D．3二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上．11．（3分）计算：5﹣（﹣6）的结果为．12．（3分）世界文化遗产长城总长约6700 000m，用科学记数法表示这个数为．13．（3分）在一个不透明的纸箱内放着除颜色外无其他差别的3个红球，2个黄球，一次从中随机摸出两个球均为黄球的概率是．14．（3分）如图，直线a∥b，直角三角板如图放置，∠DCB=90°，∠B=30°，∠1=40°，则∠2=．15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AH⊥BC于H（H在边BC上），若BH=1，CH=2，则AH=．16．（3分）已知抛物线y1=（x﹣x1）（x﹣x2）交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点，且点A在点B的左边，直线y2=2x+t经过点A，若函数y=y1+y2的图象与x 轴只有一个公共点，则线段AB的长为．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．17．（8分）解方程：4x=2（x﹣4）18．（8分）点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE，求证：△ABE≌△ACD．19．（8分）某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）该校共有1200名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数；（3）小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1200×=108人”，请你判断这种说法是否正确，并说明理由．20．（8分）如图，一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C．已知tan∠BOC=，点B的坐标为（m，n）．（1）求反比例函数的解析式；（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．21．（8分）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，以AB为直径作⊙O恰好与CD相切．（1）求证：AD+BC=CD；（2）若E为OA的中点，连结CE并延长交DA的延长线于F，当AE=AF时，求sin∠DCF．22．（10分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x ≤70且x为整数）天的售价目与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于3250元？请直接写出结果．23．（10分）已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P．①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出的值．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线c1：y=ax2﹣4a+4（a＜0）经过第一象限内的定点P．（1）直接写出点P的坐标；（2）直线y=2x+b与抛物线c1在相交于A、B两点，如图1，直线PA、PB与x 轴分别交于D、C两点，当PD=PC时，求a的值；（3）若a=﹣1，点M坐标为（2，0）是x轴上的点，N为抛物线c1上的点，Q 为线段MN的中点．设点N在抛物线c1上运动时，Q的运动轨迹为抛物线c2，求抛物线c2的解析式．2016年湖北省武汉市江汉区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．1．（3分）（2016•江汉区二模）实数的值在（）A．0与1之间B．1与2之间C．2与3之间D．3与4之间【解答】解：∵1＜＜，∴实数的值在1与2之间．故选：B．2．（3分）（2013•成都）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣1≠0，解得：x≠1．故选A．3．（3分）（2016•江汉区二模）计算（a﹣2）2的结果是（）A．a2﹣4 B．a2﹣2a+4 C．a2﹣4a+4 D．a2+4【解答】解：原式=a2﹣4a+4，故选C4．（3分）（2016•江汉区二模）有两个事件，事件A：掷一次骰子，向上的一面是3；事件B：篮球队员在罚球线上投篮一次，投中．则（）A．只有事件A是随机事件B．只有事件B是随机事件C．事件A和B都是随机事件D．事件A和B都不是随机事件【解答】解：事件A和事件B都可能发生，也可能不发生，都是随机事件，故选C．5．（3分）（2016•江汉区二模）下列运算正确的是（）A．x4•x4=x16B．（x5）2=x7C．（﹣2a）2=﹣4a2D．3x2﹣x2=2x2【解答】解：A、x4•x4=x8，故原题计算错误；B、（x5）2=x10，故原题计算错误；C、（﹣2a）2=4a2，故原题计算错误；D、3x2﹣x2=2x2，故原题计算正确；故选：D．6．（3分）（2016•江汉区二模）如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′．若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（b，a） C．（﹣b，a）D．（b，﹣a）【解答】解：∵△AOB≌△A′OB′，∴A′B′=AB=b，OB′=OB=a，∵A′在第二象限，∴A′坐标为（﹣b，a），故选C．7．（3分）（2014•哈尔滨）如图的几何体是由一些小正方形组合而成的，则这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从几何体的上面看共有3列小正方形，右边有2个，左边有2个，中间上面有1个，故选：D．8．（3分）（2015•益阳）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（）A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.8【解答】解：这组数据中4出现的次数最多，众数为4，∵共有5个人，∴第3个人的劳动时间为中位数，故中位数为：4，平均数为：=3.8．故选C．9．（3分）（2016•江汉区二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）、…根据这个规律，第2016个点的坐标为（）A．（45，13）B．（45，9）C．（45，22）D．（45，0）【解答】解：将其左侧相连，看作正方形边上的点，如图所示．边长为0的正方形，有1个点；边长为1的正方形，有3个点；边长为2的正方形，有5个点；…，∴边长为n的正方形有2n+1个点，∴边长为n的正方形边上与内部共有1+3+5+…+2n+1=（n+1）2个点．∵2016=45×45﹣9，结合图形即可得知第2016个点的坐标为（45，9）．故选B．10．（3分）（2016•江汉区二模）如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=，则弦BC的最大值为（）A．2 B．3 C．D．3【解答】解：过点O作OE⊥AB于E，如图：∵O为圆心，∴AE=BE，∴OE=BC，∵OE≤OP，∴BC≤2OP，∴当E、P重合时，即OP垂直AB时，BC取最大值，最大值为2OP=2．故答案选A．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上．11．（3分）（2016•江汉区二模）计算：5﹣（﹣6）的结果为11．【解答】解：5﹣（﹣6），=5+6，=11．故答案为：11．12．（3分）（2014•十堰）世界文化遗产长城总长约6700 000m，用科学记数法表示这个数为 6.7×106．【解答】解：将6700 000m用科学记数法表示为：6.7×106．故答案为：6.7×106．13．（3分）（2016•江汉区二模）在一个不透明的纸箱内放着除颜色外无其他差别的3个红球，2个黄球，一次从中随机摸出两个球均为黄球的概率是．【解答】解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，两个球均为黄球的有2种情况，∴从中随机一次摸出两个球，两个球均为黄球的概率是：．故答案为：．14．（3分）（2016•江汉区二模）如图，直线a∥b，直角三角板如图放置，∠DCB=90°，∠B=30°，∠1=40°，则∠2=50°．【解答】解：∵a∥b，∴∠ACB+∠3=180°，∴∠ACB=180°﹣∠3，又∵∠3=∠1=40°，∴∠ACB=180°﹣40°=140°，∴∠2=∠ACB﹣∠DCB=140°﹣90°=50°．故答案是：50°．15．（3分）（2016•江汉区二模）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AH⊥BC于H（H在边BC上），若BH=1，CH=2，则AH=．【解答】解：如图，过C作CE⊥AB，垂足为E交AH于F；则∠AEF=∠CEB=90°，∵∠BAC=45°∴CE=AE，∵∠B+∠ECB=90°，∠B+∠EAF=90°，∴∠EAF=∠ECB，∴△AFE≌△BCE（ASA）∴AF=BC=BH+CH=3，又∵∠CHF=∠AHB=90°∴△CHF∽△AHB∴FH：BH=CH：AH，设FH长为x即x：1=2：（x+3）解得：（负值不合题意，舍去）∴，即FH=，∴AH=AF+FH=3+=．答：AH长为16．（3分）（2016•江汉区二模）已知抛物线y1=（x﹣x1）（x﹣x2）交x轴于A （x1，0），B（x2，0）两点，且点A在点B的左边，直线y2=2x+t经过点A，若函数y=y1+y2的图象与x轴只有一个公共点，则线段AB的长为8．【解答】解：∵线y2=2x+t经过点A（x1，0），∴2x1+t=0∴x1=﹣，A（﹣，0）∵若函数y=y1+y2的图象与x轴只有一个公共点，∴这个公共点就是点A，∴可以假设y=（x+）2=x2+tx+∴y1=y﹣y2=x2+（t﹣2）x+﹣t．∴AB=====8．故答案为8．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．17．（8分）（2016•江汉区二模）解方程：4x=2（x﹣4）【解答】解：去括号得：4x=2x﹣8，移项合并得：2x=﹣8，解得：x=﹣4．18．（8分）（2016•江汉区二模）点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE，求证：△ABE≌△ACD．【解答】证明：∵在△ABE和△ACD中∴△ABE≌△ACD（SAS）．19．（8分）（2016•江汉区二模）某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请根据以上信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）该校共有1200名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数；（3）小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1200×=108人”，请你判断这种说法是否正确，并说明理由．【解答】解：（1）“经常参加”的人数为：300×（1﹣15%﹣45%）=120人，喜欢篮球的学生人数为：120﹣27﹣33﹣20=120﹣80=40人；补全统计图如图所示；（2）根据题意得：1200×=160（人），答：全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数有160人；（3）这个说法不正确．理由如下：小明得到的108人是经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数，而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的，因此应多于108人．20．（8分）（2014•襄阳）如图，一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C．已知tan∠BOC=，点B的坐标为（m，n）．（1）求反比例函数的解析式；（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．【解答】解：（1）作BD⊥x轴于D，如图，在Rt△OBD中，tan∠BOC==，∴=，即m=﹣2n，把点B（m，n）代入y1=﹣x+2得n=﹣m+2，∴n=2n+2，解得n=﹣2，∴m=4，∴B点坐标为（4，﹣2），把B（4，﹣2）代入y2=得k=4×（﹣2）=﹣8，∴反比例函数解析式为y2=﹣；（2）当0＜x＜4时，y2的取值范围是y2＜﹣2，当x＜0时，y2＞0．21．（8分）（2016•江汉区二模）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，以AB为直径作⊙O恰好与CD相切．（1）求证：AD+BC=CD；（2）若E为OA的中点，连结CE并延长交DA的延长线于F，当AE=AF时，求sin∠DCF．【解答】（1）证明：作OH⊥CD于H，如图，∵以AB为直径作⊙O与CD相切，∴点H为切点，∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD和BC都与⊙O相切，∴DA=DH，CB=CH，∴AD+BC=DH+CH=CD；（2）解：∵AE=AF，∠EAF=90°，∴△AEF为等腰直角三角形，∴∠F=45°，∵AF∥BC，∴∠FCB=45°，∴△OBC为等腰直角三角形，∴BE=BC，作DG⊥BC于G，如图，易得四边形ABGD为矩形，设AE=AF=x，AD=y，则BE=BC=3x，∴CD=y+3x，DG=4x，CG=CB﹣BG=3x﹣y，在Rt△DGC中，∵DG2+CG2=CD2，∴（4x）2+（3x﹣y）2=（y+3x）2，∴y=x，∴CD=x+3x=x，DF=x+x=x，作DK⊥CF于K，如图，则△KDF为等腰直角三角形，∴DK=DF=x，在Rt△CDK中，sin∠DCK===，即sin∠DCF=．22．（10分）（2016•江汉区二模）九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤70且x为整数）天的售价目与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于3250元？请直接写出结果．【解答】解：（1）当1≤x＜40时，y=（150﹣2x）（x+45﹣30）=﹣2x2+120x+2250，当40≤x≤70时，y=（150﹣2x）（85﹣30）=﹣110x+8250，综上所述：y=；（2）当1≤x＜40时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=30，=﹣2×302+120×30+2250=4050，当x=30时，y最大当40≤x≤70时，y随x的增大而减小，=3850，当x=40时，y最大综上所述，该商品第30天时，当天销售利润最大，最大利润是4050元；（3）当1≤x＜40时，y=﹣2x2+120x+2250≥3250，解得10≤x≤50，因此利润不低于3250元的天数是10≤x＜40，共30天；当40≤x≤70时，y=﹣110x+8250≥3250，解得x≤45，因此利润不低于3250元的天数是40≤x≤45，共6天，所以该商品在销售过程中，共36天每天销售利润不低于3250元．23．（10分）（2016•江汉区二模）已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P．①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出的值．【解答】（1）证明：如图1，连接OE、0F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD=DC=BC，∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．∠ADO=∠ADC=×60°=30°，又∵E、F分别为DC、CB中点，∴OE=CD，OF=BC，AO=AD，∴0E=OF=OA，∴点O即为△AEF的外心；（2）解：①猜想：外心P一定落在直线DB上．理由如下：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°，∴∠IPJ=360°﹣∠PIE﹣∠PJD﹣∠JDI=120°，∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA，∴△PIE≌△PJA，∴PI=PJ，∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上；②为定值2．连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心．如图3，设MN交BC于点G，设DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），则CN=y﹣1，∵BC∥DA，∴∠GBP=∠MDP，∠BGP=∠DMP，又由（1）知BP=DP，∴△GBP≌△MDP（AAS），∴BG=DM=x，∴CG=1﹣x．∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM，∴=，∴=，∴x+y=2xy，∴+=2，即=2．24．（12分）（2016•江汉区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线c1：y=ax2﹣4a+4（a＜0）经过第一象限内的定点P．（1）直接写出点P的坐标；（2）直线y=2x+b与抛物线c1在相交于A、B两点，如图1，直线PA、PB与x 轴分别交于D、C两点，当PD=PC时，求a的值；（3）若a=﹣1，点M坐标为（2，0）是x轴上的点，N为抛物线c1上的点，Q为线段MN的中点．设点N在抛物线c1上运动时，Q的运动轨迹为抛物线c2，求抛物线c2的解析式．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣4a+4=a（x2﹣4）+4，该函数图象过第一象限内的定点P，∴x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2（舍去），则y=4，∴点P的坐标是（2，4）；（2）设点A、B的坐标分别为A（x1，ax12﹣4a+4）、B（x2，ax22﹣4a+4）．又∵点A、B在直线y=2x+b上，∴a（x1+x2）=2．如图，过点B作BG∥y轴，过点P作PG∥x轴，BG、PG相交于点G，过点A作AH∥x轴，过点P作PH∥y轴，AH、PH相交于点H．∵PD=PC，∴∠PDC=∠PCD．∵AH∥x轴，∴∠PAH=∠PDC．同理，∠BPG=∠PCD，∴∠AHP=∠PGB，∴Rt△PGB∽Rt△AHP，∴=，即=，∴x1+x2=﹣4，∴a=﹣；（3）设点Q的坐标为（x Q，y Q），点N的坐标为（x N，y N）．∵M（2，0）．由点Q是线段MN的中点，可以求得，x N=2x Q﹣2，y N=2y Q．∵a=﹣1，∴抛物线c1的解析式为y=﹣x2+8．∵点N在抛物线c1上，∴y N=﹣x N2+8．∴2y Q=﹣（2x Q﹣2）2+8，即y Q=﹣2x Q2+4x Q+2，∴抛物线c2的解析式为：y=﹣2x2+4x+2．。