A12 A22
X X
1 3
X X
2 4
A11
X1 A12 A22 X 3
X
3
A11
X 2 A12 A22 X 4
X
4
E 0
0 E
A11X1 A12 X 3 E
得到4个矩阵方程组
A11
X
2
A12 X 4
0
A22
X
3
0
A22 X 4 E
求解该方程组，得
X 4 A221 X3 0 X1 A1T1 X 2 A111 A12 A221
(2) （解略，请仿(1)方法自行求解）
2. 分块对角矩阵
设A1, A2, … , As均为方阵（不一定同阶），则称下 面的A为分块对角矩阵
A1
A
A2
As
如果矩阵A1, A2, … , As均可逆，则分块对角矩阵A 可逆，且其逆矩阵为
A11
A1
A21
As1
说明：分块对角阵的逆矩阵，与对角矩阵的逆矩
0
0
1 b
A1
A2
A3
a10
A4
,其中A2431
a0 01b
1b0
说明 (1). 矩阵分块时，同一个矩阵可以有不同的 分块方法，应根据需要进行选择。
2、矩阵分块一般形式
矩阵A = ( aij )m×n，在行方向分s块，列方向分t块， 称A为s×t分块矩阵，第k行l列子块Akl是mk×nl阶矩阵。
AtT
二、一些特殊的分块矩阵
1. 2阶分块上（下）三角形矩阵求逆
例2. 求下列2阶分块逆矩阵
(1) A A11
A12 A22
其中A11， A22可逆矩阵
(2) B B21
B12 B22
其中B12， B21可逆矩阵
解(1) ：设A的分块逆矩阵为
A1
X1 X3
X X
2 4
AA1 E
AA1 A11
其中B = ( b1, b2, …, bt )， X = ( x1, x2, …, xt ) 例3. 求解下列矩阵方程
1 2 3 1 1 1 X 2 2
0 1
1
B
1
1 1
0 2 0 1
1 0 4 2
0
1
1 0
解：把A, B分块成
11 00
AA
00 1 1
11 2 1
00 00
00 1 0
00 1010
EA1
O E
,
1 0 1 0
B
1 1
1
2 0 1
0 4 2
1 1 0
B11 B21
E
B22
则
AB
E A1
O E
B11 B21
A、B分块如下：
A11 A12 A1t
A
A21 As1
A22 As2
A2t Ast
B11 B12
B
B21 Bs1
B22 Bs 2
B1t B2t Bst
则定义A B Akl Bkl st
注. 分块矩阵运算中，每个子块具有二重性：一 是分块矩阵的元素；二是本身是矩阵。
A11
A12
A
A21 As1
A22 As 2
n1 n2
A1t
m1
各子块行数
A2t m2
Ast
ms
s
mk m
k 1
t
nt 各子块列数
nl n
l 1
说明 (2). 矩阵分块三原则：体现原矩阵特点，依
据问题需要，子块可以作元素运算。
一、分块矩阵的运算规则
1、分块加法
设A、B是m×n阶矩阵，采用相同的分块法分块将
A11 A
As1
A1r
A1T1
, 则 AT ( AT )T
Asr
ij
A1Tr
AsT1
.
AsTr
分外层、内层双重转置
说明：分块转置中，每个子块一方面作为分块阵 元素要转置；另一方面作为矩阵本身也要转置。
特别地，对于列分块矩阵： A1T
A ( A1, A2 , , At ) AT
例如
A
0 1
a 0
0 b
0 1
0 1 1 b
B1 B2 ,
B3
a 1 0 0
即
A
0 00
a
1 1
0
1 1
0 bb
B1 BB32
a 1 0 0
0
1 0
a 0 1
0 b 1
0 b1
A E
O B
,
其中OBEA
ab01 10
01 0ba1
a
0
1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
E B22
B11 A1B11
B21
A1
E B22
又
A1
B11
B21
1 1
12
1 1
02
1 1
01
3 0
24
1 1
01
2 1
14
A1
B22
1 1
12
4 2
10 33
13
于是
AB
B11 A1B11
B21
A1
E B22
1 0 1 0
1 2 1
4 4 1
0 3 3
1
3 1

说明 (3). 矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程
分块矩阵
矩阵分块，是矩阵运算的一个重要方法，可将大 规模矩阵的运算化为若干小矩阵进行计算。
一. 分块矩阵的运算规则 二. 分块矩阵的一些例子
1、矩阵分块的方法
在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵 线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为 矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。
a 1 0 0
2、分块数乘 设A是m×n阶矩阵，任意分块，k是常数，则定义
kA kAkl st
3、分块乘法 设A是m×l阶矩阵，
B是l×n阶矩阵， 即A的列数 = B 的行数 分块A = ( Auv )s×r
B = ( Bvw )r×t 即A的列分块法 = B 的行分块法 则A与B的乘积C = ( Cuw ) 是s×t阶分块矩阵，满足
r
Cuw Auv Bvw v1
(u 1, , s; w 1, ,t)
注. 分块矩阵乘积AB中，每个子块：
r
（1）作为分块阵元素参与运算Cuw AuvBvw v 1
（2）作为矩阵也要满足乘法条件 AuvBvw
例1. 用分块矩阵法求AB
1
A
0 1 1
0 1 2 1
0 0 1 0
0
0
阵形式类似。
3. 矩阵乘积AB，A不分块，B按列分块
设矩阵A、B分别是s×n 和n×t 阶矩阵，A不分块，
B按列分块，即
B (1, 2 , , t )
则 AB A(1, 2 , , t )
( A1, A2 , , At )
说明：矩阵方程AX = B 可看成 t 个线性方程组 Ax1 = b1, Ax2 = b2, …, Axt = bt
更简单，计算量更少。
例1的计算量比较： 直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数
4 4 (4 3) 112 用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数
块运算：2 2 (2 1) 12 子块运算：2 2 (2 1) 2 2 2 20
合计32次
4、分块转置 设矩阵A = ( Aij ) 是s×r 阶分块矩阵