2019年高考数学总复习：样本频率分布直方图、茎叶图1．(2018·云川贵百校联考)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为( )A.3 C ．3.5 D ．2.75答案 A解析 x ＝1100×(1×20＋2×10＋3×40＋4×10＋5×20)＝3.2．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A ．28B ．40C ．56D ．60答案 B解析 设中间一个小长方形面积为x ，其他8个长方形面积为52x ，因此x ＋52x ＝1，∴x ＝27.所以中间一组的频数为140×27＝40.故选B.3．(2017·山东)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( )A ．3，5B ．5，5C ．3，7D ．5，7答案 A解析 根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以 56＋62＋65＋74＋（70＋x ）5＝59＋61＋67＋65＋785，解得x ＝3.故选A.4．(2018·山西长治四校联考)某学校组织学生参加数学测试，有一个班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100)，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60答案 B解析 ∵[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是150.3＝50. 5.(2017·陕西西安八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值为( )A ．2，4B ．4，4C ．5，6D ．6，4答案 D解析 x －甲＝75＋82＋84＋（80＋x ）＋90＋936＝85，解得x ＝6，由图可知y ＝4，故选D.6．(2018·河北邢台摸底)样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( ) A.105B.305 C. 2 D ．2答案 D解析 依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝15(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即所求的样本方差为2.7．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为(A.1169B.367 C ．36 D.677答案 B解析 由图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，x ＝4.s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.8．(2018·浙江温州八校联考)如图所示的是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其中位数为( )A ．12.5B ．13C ．13.5D ．14答案 B解析 中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线的横坐标，第一个矩形的面积是0.2，第二个矩形的面积是0.5，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3∶2即可，∴中位数是13.故选B.9．如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A 和x B ，样本标准差分别为S A 和S B ，则( )A ．x A >xB ，S A >S B B ．x A <x B ，S A >S BC ．x A >x B ，S A <S BD ．x A <x B ，S A <S B答案 B解析 由图可知A 组的6个数为2.5，10，5，7.5，2.5，10，B 组的6个数为15，10，12.5，10，12.5，10，所以x A ＝2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋106＝37.56，x B ＝15＋10＋12.5＋10＋12.5＋106＝706.显然x A <x B ，又由图形可知，B 组的数据分布比A 均匀，变化幅度不大，故B 组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以S A >S B ，故选B.10．(2017·郑州第一次质量预测)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图所示是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是( )A ．甲B ．乙C ．甲、乙相等D ．无法确定答案 A解析 从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小．11．(2018·湖南长沙一模)下面的茎叶图是某班学生在一次数学测试时的成绩：根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的一项是( ) A ．15名女生成绩的平均分为78 B ．17名男生成绩的平均分为77C ．女生成绩和男生成绩的中位数分别为82，80D ．男生中的高分段和低分段均比女生多，相比较男生两极分化比较严重 答案 C解析 对于A ，15名女生成绩的平均分为115×(90＋93＋80＋80＋82＋82＋83＋83＋85＋70＋71＋73＋75＋66＋57)＝78，A 正确；对于B ，17名男生成绩的平均分为117×(93＋93＋96＋80＋82＋83＋86＋86＋88＋71＋74＋75＋62＋62＋68＋53＋57)＝77，故B 正确；对于D ，观察茎叶图，对男生、女生成绩进行比较，可知男生两极分化比较严重，D 正确；对于C ，根据女生和男生成绩数据分析可得，两组数据的中位数为80.C 错误．12．(2018·四川广元二诊)在“2017年双十一”促销活动中，某商场对11月11日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为14万元，则9时到11时的销售额为()A ．3万元B ．6万元C ．8万元D ．10万元答案 D解析 根据频率分布直方图知，12时到14时的频率为0.35，9时到11时的频率为0.25，∴9时到11时的销售额为0.25×140.35＝10(万元)．13．(2018·山东泰安调研)某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下分数的方差为________．⎪⎪⎪⎪34542 4 62 8答案 14解析 由茎叶图可知，最高分为58，最低分为34，剩下的4个分数分别为42，44，46，52，其平均数x ＝14×(42＋44＋46＋52)＝46，∴剩下4个分数的方差s 2＝14×[(42－46)2＋(44－46)2＋(46－46)2＋(52－46)2]＝14.14.为了解某校高三学生联考的数学成绩情况，从该校参加联考学生的数学成绩中抽取一个样本，并分成五组，绘成如图所示的频率分布直方图，已知第一组至第五组的频率之比为1∶2∶8∶6∶3，第五组的频数为6，则样本容量为________． 答案 40解析 因为第一组至第五组的频率之比为1∶2∶8∶6∶3，所以可设第一组至第五组的频率分别为k ，2k ，8k ，6k ，3k ，又频率之和为1，所以k ＋2k ＋8k ＋6k ＋3k ＝1，解得k ＝120＝0.05，所以第五组的频率为3×0.05＝0.15，又第五组的频率为6，所以样本容量为60.15＝40.15．(2018·湖南长沙一模)空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士从当地某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计当地该年AQI 大于100的天数为________．(该年为365天) 答案 146解析 该样本中AQI 大于100的频数为4，频率为25，以此估计此地全年AQI 大于100的频率为25，故此地该年AQI 大于100的天数约为365×25＝146.16．(2018·河北邯郸一模)某校为指导学生合理选择文理科的学习，根据数理综合测评成绩，按6分为满分进行折算．若学生成绩低于m 分则建议选择文科，不低于m 分则建议选择理科(这部分学生称为候选理科生)．现从该校高一随机抽取500名学生的数理综合测评成绩作为样本，整理得到分数的频率分布直方图(如图所示)．(1)求直方图中t 的值；(2)根据此次测评，为使80%以上的学生选择理科，整数m 至多定为多少？ (3)若m ＝4，试估计该校高一学生中候选理科生的平均成绩．(精确到0.01) 答案 (1)0.2 (2)2 (3)4.93解析 (1)0.15×1＋t ×1＋0.30×1＋t ×1＋0.15×1＝1，解得t ＝0.2. (2)根据频率分布直方图可知，分数落在[1，2]组的频率为0.15， ∴为使80%以上的学生选择理科，整数m 至多定为2.(3)若m ＝4，则估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩为4.5×0.2×1×500＋5.5×0.15×1×5000.2×1×500＋0.15×1×500≈4.93.17．(2018·江西南昌一中、十中、南铁一中联考)某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，可见部分如图所示，据此解答下列问题：(1)求分数在[50，60]的频率及全班人数；(2)求分数在[80，90]的频数，并计算频率分布直方图中[80，90]的矩形的高．答案(1)0.08，25(2)0.016解析(1)分数在[50，60]的频率为0.008×10＝0.08.由茎叶图知，分数在[50，60]的频数为2，＝25.∴全班人数为20.08(2)分数在[80，90]的频数为25－2－7－10－2＝4，∴频率分布直方图中[80，90]的矩形的高÷10＝0.016.为4251．(2018·广东肇庆模拟)下边茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数为甲组数据的中位数，则x，y的值分别为()A．4，5B．5，4C．4，4 D．5，5答案 A解析由已知，甲组数据的中位数是124，则x＝4，∴16×(116＋116＋125＋120＋y＋128＋134)＝124, 解得y＝5.2．(2017·山东青岛检测)如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，样本质量均在[5，20]内，其分组为[5，10)，[10，15)，[15，20]，则样本质量落在[15，20]内的频数为()A ．10B ．20C ．30D ．40答案 B解析 由题意得组距为5，故样本质量在[5，10)，[10，15)内的频率分别为0.3和0.5，所以样本质量在[15，20]内的频率为1－0.3－0.5＝0.2，频数为100×0.2＝20，故选B. 3．(2017·广州十校第一次联考)学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50)(单位：元)，其中支出在[30，50)(单位：元)的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n 的值为( )A ．100B ．120C ．130D ．390答案 A解析 由图知[10，30)的频率为：(0.023＋0.01)×10＝0.33，[30，50)的频率为1－0.33＝0.67，所以n ＝670.67＝100，故选A.4．(2018·河北承德实验中学期中)已知甲、乙两组数据如图中茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则mn＝( )A.38B.13C.29 D ．1答案 A解析 乙的中位数为23，∴m ＝3.则甲的平均数为17＋23＋293＝23.∴n ＝4×23－(22＋24＋28)－10＝8，∴m n ＝38.故选A.5．(2018·广东深圳外国语学校月考)将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 的值为( ) A ．60 B ．55 C ．50 D ．45答案 A解析 设第一组至第六组数据的频率分别为2x ，3x ，4x ，6x ，4x ，x ，则2x ＋3x ＋4x ＋6x ＋4x ＋x ＝1，解得x ＝120，所以前三组数据的频率分别是220，320，420，故前三组数据的频数之和等于2n 20＋3n 20＋4n20＝27，解得n ＝60.6．对于一组数据x i (i ＝1，2，3，…，n)，如果将它们改变为x i ＋C(i ＝1，2，3，…，n)，其中C ≠0，则下列结论正确的是( ) A ．平均数与方差均不变 B ．平均数变，方差保持不变 C ．平均数不变，方差变 D ．平均数与方差均发生变化 答案 B解析 依题意，记原数据的平均数为x ，方差为s 2，则新数据的平均数为（x 1＋C ）＋（x 2＋C ）＋…＋（x n ＋C ）n ＝x ＋C ，即新数据的平均数改变；新数据的方差为1n {[(x 1＋C)－(x ＋C)]2＋[(x 2＋C)－(x ＋C)]2＋…＋[(x n ＋C)－(x ＋C)]2}＝s 2，即新数据的方差不变．7．某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取50名学生的笔试成绩，绘制成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a ＝________；若要从成绩在[85，90)，[90，95)，[95，100]三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取12名学生参加面试，则成绩在[95，100]内的学生中，学生甲被抽取的概率为________．答案 0.040 25解析 由频率分布直方图知，(0.016＋0.064＋0.060＋a ＋0.020)×5＝1，解得a ＝0.040.第3组的人数为0.060×5×50＝15，第4组的人数为0.040×5×50＝10，第5组的人数为0.020×5×50＝5，则第3，4，5组共30名学生．利用分层抽样的方法在这30名学生中抽取12名学生，因为1530×12＝6，1030×12＝4，530×12＝2，所以第3，4，5组分别抽取6名学生，4名学生，2名学生，则从成绩在[95，100]内的5名学生中抽取2名，学生甲被抽取的概率为25.8．图1是某县参加2016年高考的学生的身高条形统计图，从左到右的各条形图表示的学生人数依次为A 1，A 2，…，A n (如A 2表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)，图2是统计图1中身高在一定范围内的学生人数的程序框图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm 不含180 cm)的学生人数，那么空白的判断框内应填写的条件是________．答案 i ≤7?解析 由题意可知，本题是统计身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)内的学生人数，即求A 4＋A 5＋A 6＋A 7，故程序框图中的判断框内应填写的条件是“i ≤7？”．9．(2018·江苏南京调研)为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的汽车有________辆．答案80解析时速在区间[40，60)内的汽车有200×(0.01＋0.03)×10＝80辆．10．(2017·郑州质检)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图，如图所示．(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由．答案(1)5540(2)①可以②B款解析(1)依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55分钟．使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为：15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40(分钟)．(2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%>75%.故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.②使用B 款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，所以选B 款订餐软件．11．对某校高一年级学生参加“社区志愿者”活动次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加“社区志愿者”活动的次数．据此作出频数和频率统计表及频率分布直方图如下：(1)求出表中M ，p 及图中a (2)若该校高一学生有720人，试估计他们参加“社区志愿者”活动的次数在[15，20)内的人数；(3)若参加“社区志愿者”活动的次数不少于20的学生可被评为“优秀志愿者”，试估计每位志愿者被评为“优秀志愿者”的概率．答案 (1)M ＝20，p ＝0.1，a ＝0.12 (2)432 (3)0.15解析 (1)根据频率分布表，得5M＝0.25，∴样本容量M ＝20. ∴m ＝20－5－12－1＝2，∴对应的频率为p ＝220＝0.1，n ＝1220＝0.6，∴a ＝0.620－15＝0.12. (2)参加“社区志愿者”活动的次数在[15，20)内的频率为0.6，∴估计参加“社区志愿者”活动的次数在[15，20)内的人数为720×0.6＝432.(3)参加“社区志愿者”活动的次数在20以上的频率为0.1＋0.05＝0.15.∴样本中每位志愿者可被评为“优秀志愿者”的频率为0.15，∴估计每位志愿者被评为“优秀志愿者”的概率为0.15.12．(2016·四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．答案(1)0.30(2)36 000(3)估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．解析(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02.由0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30.(2)由(1)可知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000.(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85.而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85.所以2.5≤x<3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．。