3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量
[学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量．
知识点一 直线的方向向量
直线l 上的向量e (e ≠0)以及与e 共线的非零向量叫做直线l 的方向向量． 知识点二 平面的法向量
如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 思考
1．平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？ 答案 相互平行．
2．一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？ 答案 不惟一，它们相互平行，但不一定相等．
题型一 直线的方向向量及其应用
例1 设直线l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，直线l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________. 答案 2
解析 由题意，得a ⊥b ，所以a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3，m )＝－2＋6－2m ＝4－2m ＝0，所以m ＝2.
反思与感悟 若l 1⊥l 2，则l 1与l 2的方向向量垂直；若l 1∥l 2，则l 1与l 2的方向向量平行． 跟踪训练1 若直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，则l 1与l 2的位置关系是________． 答案 垂直
解析 因为a·b ＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0，所以a⊥b ，从而l 1⊥l 2. 题型二 求平面的法向量
例2 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1
2
，建立适当的空间
直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量．
解 如图，以A 为原点，以AD →，AB →，AS →
分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，D (1
2
，0,0)，
C (1,1,0)，S (0,0,1)，
则DC →＝(1
2，1,0)，
DS →
＝(－1
2
，0,1)．
易知向量AD →＝(1
2，0,0)是平面SAB 的一个法向量．
设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·DC →＝1
2x ＋y ＝0，n ·DS →
＝－12
x ＋z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－12x ，z ＝1
2x .
取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，
∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)． 反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤：
(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC →，AB →
； (2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )； (3)联立方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·AC →＝0，
n ·AB →＝0，
并求解；
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．
跟踪训练2 已知A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量． 解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由题意知AB →＝(－1,1,0)，BC →
＝(1,0，－1)． ∵n ⊥AB →，n ⊥BC →
，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·BC →＝x －z ＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝y ，
x ＝z .令x ＝1，则y ＝z ＝1.
∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)． 题型三 证明平面的法向量
例3 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．
求证：D 1F →
是平面ADE 的法向量．
证明 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则
D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，
E (1,1，12)，
F (0，12
，0)，
所以AD →＝(－1,0,0)，D 1F →
＝(0，12，－1)，
AE →
＝(0,1，12
)，
所以AD →·D 1F →
＝(－1,0,0)·(0，12
，－1)＝0，
AE →
·D 1F →
＝(0,1，12)·(0，12
，－1)＝0，
所以AD →⊥D 1F →，AE →⊥D 1F →
，又AD ∩AE ＝A ， 所以D 1F →
⊥平面ADE ，
从而D 1F →
是平面ADE 的法向量．
反思与感悟 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直．
跟踪训练3 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，在BC 、DD 1上是否存在点E 、F ，使B 1E →是平面ABF 的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E 、F 满足的条件；若不存在，请说明理由． 解
建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B (1,1,1)，B 1(1,1,0)， 设F (0,0，h )，E (m,1,1)，
则AB →＝(0,1,0)，B 1E →＝(m －1,0,1)，FA →
＝(1,0,1－h )．
∵AB →·B 1E →＝0，∴AB ⊥B 1E .若B 1E →是平面ABF 的法向量，则B 1E →·FA →
＝m －1＋1－h ＝m －h ＝0，∴h ＝m .即E 、F 满足D 1F ＝CE 时，B 1E →
是平面ABF 的法向量．
故存在，且E 、F 满足D 1F ＝CE .
利用向量法判断直线与平面平行
例4 已知u 是平面α的一个法向量，a 是直线l 的一个方向向量，若u ＝(3,1,2)，a ＝(－2,2,2)，则l 与α的位置关系是________． 错解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0， 所以u ⊥a ，所以l ∥α.
错因分析 错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别．实际上，本例中由向量u ⊥a 可得l ⊂α或l ∥α. 正解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0. 所以u ⊥a ，所以l ⊂α或l ∥α. 答案 l ⊂α或l ∥α
1．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，
y ＝________.
答案 6
15
2
解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝15
2
.
2．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面A 1B 1CD 的法向量的是____________________． 答案 AD 1→或C 1B →或D 1A →或BC 1→
3．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ
的法向量的是
________． ①(0,1,2) ②(3,6,9)
③(－1，－2,3)
④(3,6,8)
答案 ②
解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线．
4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，1
2
，2)，则m ＝________.
答案 －8
解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为(1，1
2，2)，
∴(2，m,1)·(1，1
2，2)＝0.
∴2＋1
2
m ＋2＝0.∴m ＝－8.
5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________．(填序号) ①AB →；②AA 1→；③B 1B →；④A 1C 1→. 答案 ②③
解析 ∵AA 1⊥平面ABC ，B 1B ⊥平面ABC ， ∴AA 1→与B 1B →
可以作为平面ABC 的法向量．
1.直线的方向向量的应用
利用方向向量可以确定空间中的直线．若有直线l ，点A 为直线上的点，向量a 是l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使AP →＝tAB →
，这样，点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置还可以具体地表示出直线l 上的任意点． 2．平面的法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
(1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标
a ＝(a 1，
b 1，
c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．
(3)根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
n·a ＝0，
n·b ＝0.
(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量．。