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量无论无论是
和具有规具有规律性。
时有时会显得特别探索空间平面法向量的求法与方向的判定
问题，都离不开平面的
成角
”
”
距离
“
问题，还是
杨玉春
(铜仁市第二中学，贵州铜仁 554300)
向量具有一套完整的运算体系，可以把几何图形的性质
转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实
现了“数”与“形”的结合。
因此用量知识解决某些立体几
何问题，有时会显得特别简洁和具有规律性。
但用向量无论
是解决“成角”问题，还是“距离”问题，都离不开平面的
法向量，可以说平面的法向量是用向量来解决立几问题的瓶
颈，平面法向量的正确求出是关键。
而用向量来求二面角的
大小时，往往还需判断法向量的方向，是指向二面角内还是
指向二面角外。
本文介绍空间平面法向量的求法与方向的判
定。
一、平面法向量的求法
1、几何法：如图(1)，若λ⊥α，在λ上任取两点A、B，
则或即为平面α的一个法向量。
2、待定系数法(两种设法)：
（1）设n=(1,λ,μ)或n=(λ，1，μ)或n=(λ, μ，1)是平面α的一个法向量。
a ，b 是平面α内任一两个不共线向量，由 n ·a=0
n ·b=0求出λ，μ即可。
（2）或设n=（x ，y ，z ）是平面a=0 ·b=0 得出关于x 、y 、z 的三元一次方程组的一个解即为平面α的一个法向量。
3、利用空间平面方程：Ax+By+Cz+D=0(其中：A 、B 、C 不同时为零)，则n=（A ，B ，C ）为平面的一个法向量。
4利用向量的向量积：如图(1)，设a=(111,,x y z ),b=（223,,x y z ）
则a ×b= =( ,| |,|)
=(122121121221,,y z y z x z x z x y x y ---)
取n=(a ×b )(λ∈R 且λ≠0)是平面α的法向量。
二、空间平面法向量方向的判定
1、由几何法求出的法向量，此时方向看图即可。
2、由向量的向量积求出的法向量，用“右手定则”可确定a ×b 的方向，取n=λ(a ×b),当＞0时，则n 方向与向
量a ×b 方向相同；当λ＜0时，n 方向与向量a ×b 方向相反。
3、用待定系数法或空间平面方程求出的法向量可用如下方法判定：
二面角法量方向的判定应该选定一个向量作为参照向量n 。
(这个参照向量不能和平面垂直或平行且指向二面角内部)。
如图(2)，设平面α的法向量分别为12,n n ，在二面角α—λ—β内的一个参照向量为0n ,当10n n ∙＞0时，显然1n 与0n 的夹角为锐角，我们称法向量1n 的方向指向二面角的内部；当20n n ∙＜0时，显然2n 与0n 的夹角为钝角，我们称法向量2n 的方向指向二面角外部。
再依据当二面角的两个半平面的法向量同时指向二面内部或同时指向二面角外部时，二面角与其法向量所成角为互补关系；当法向量的方向一个指向二面角内部一个指向二面角的外部时，二面角与其法向量所成角为相等关系；概括为：“同内同外互补，一内一外相等”。
三、举例示范空间平面法向量求法与方向的判定
例：如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90º,SA ⊥平
面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=21。
Ⅰ：求SC 与平面ABCD 所成的角。
Ⅱ：求点A 到平面SCD 的距离。
Ⅲ：求平面SAB 与平面SCD 所成角的大小。
Ⅳ：求二面角A —SC —D 的大小。
解析：如图，以A 为原点，以向量
AB 、AD 、AS 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系。
则
A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D （0，2
1，0），S(0，0，1)
Ⅰ：由题意:SA ⊥平面ABCD ，∴平面ABCD 的一个法向量为n=AS=(0，0，1),又。
∴SC 与平面ABCD 所成的角为：
Ⅱ：(1)设平面SCD 的一个法向量为
n=(1,λ,μ)
即n=（1，-2，-1）
（2）或设平面SCD 的法向量为n=（x,y,z ）
不妨令y=-2，则平面SCD 的一个法向量为
n =(1,-2,-1)
(3)或设平面SCD 的方程为Ax+By+Cz+D=0(其中A 、B 、C 不同时为零)，则n =(A 、B 、C)是平面SCD 的一个法向量。
把S(0,0,1),C(1,1,0),D(0,21,0)分别代入平面方
程，得
不妨令B=-2,则A=1，C=-1，从而
n =(1,-2,-1)为平面SCD 的一个法向量。
(4)或由SC=（1，1，-1），SD=(0,2
1,-1)，则SC ×SD =
∴平面SCD 的一个法向量可取n =-2（-21,1, 21）=
（1,-2,-1）
以上四种方法都可以轻松求出平面SCD 的一个法向量n =（1,-2,-1）
∴点A 到平面SCD 的距离为
Ⅲ:平面SAB 与平面SCD 所成的角就是法向量 AD = （0，，0）与法向量n=（1,-2,-1）所成角或其补角。
∴平面SAB 与平面SCD 所成角为arccos 36或-arccos 36
Ⅳ:由(Ⅲ)知平面SCD
的一个法向量为n =(1,-2,-1)在二面角A-SC-D 内选择一个参照向量0n =DA=(0,21,0),由DA ·n =-1＜0，∴n 方向是指向二面角外部。
同进可求得平面SAC 的一个法向量m=（1,-1,1），又AD=(0,2
1,0)，AD ·m =＞0。
∴m 的方向指向二面角内部，由“一内一外相等”知二面角A-SC-D 的大小为＜n, m ＞，又COS ＜n, m ＞=
，
∴二面角A-SC-D 的大小为arccos 3。
值得一提的是当求两平面所成角大小时，并不须要判断法向量方向，因此当时二面角有两个其大小互补；求二面角大小时，应判断法向量方向，因为二面角的大小唯一的。