Rn ( x)
M (n 1) !
x x0
n1
二、泰勒定理
f (x)
f (x0 )
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
Hale Waihona Puke f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
( (n 1) !
x
x0
)n1
(
)
(n 1)! (n 1)!
在x与x0之间
二、泰勒定理
若 f (x)在包含 x0的某开区间 (a,b) 内具有
直 到 n 1 阶的导数 , 则当 x (a , b) 时, 有
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
如何确定Pn ( x)？——确定系数a0 , a1 , , an
f (k ) ( x0 ) Pn(k ) ( x0 ) (k 0,1, 2, , n)
设
函
数
f
(
x
)在
含
有
x
的
0
开
区
间(
a
,
b
)内
具
有
1至
(
n
1)阶
导
数
f ( x0 ) Pn ( x0 ) a0
f ( x0 ) Pn ( x0 ) a1
x0 )n
Rn ( x)
①
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
(x (n 1) !
x0 )n1
( 在 x0 与 x 之 间)
②
公式 ① 称为 f ( x )的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
二、泰勒定理
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x
x0 )
f
(x) f (x)
f(
x0 ) f (0)
f
( f
x0 )( x (0) x
fx0()0)
f ( x0 ) (
x22!
x
xf 0(n))2(0) x n
f(
n)( x0 ) on( !x n )
注意到 Rn ( x ) o[( x x0 )n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x
x0 )
f
( 2
x0 !
)
(
x
x0
)2
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
o[(
x
x0 )n ]
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
二、泰勒定理
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有
f ( x) f (0) f (0) x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f (n1) ( x) x n1
(n 1) !
称为麦克劳林(Maclaurin )公式 .
若不考虑误差，也可写成
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
(x (n 1) !
x0 )n1
( 在 x0 与 x 之 间)
二、泰勒定理
证：
Rn(x) f (x) Pn(x)
对函数Rn ( x)和( x x0 )n1, 在以x和x0为端点
的区间上应用柯西中值定理，得
Rn( x) ( x x0 )n1
f
( 2
x0 !
)
(
x
x0
)2
特例:
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
当 n = 0 时, 泰勒公式变为拉格朗日中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 ) ( 在 x0 与 x 之 间)
若在公式成立的区间上 f (n1) ( x ) M ,则有误差估计式
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
x在
x
附
0
近
P1( x)
如，当 | x |很小时，ex 1 x
不足: 1、精确度不高；
y ex y ex
2、误差不能估计.
y 1 x
o
一、问题的提出
问题: 对于函数f ( x)，找 一 个 多 项 式 函 数
Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n
f (x)
在 x 0附 近
二、泰勒定理
若 f (x)在包含 x0的某开区间 (a,b) 内具有
直 到 n 1 阶的导数 , 则当 x (a , b) 时, 有
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
第三节
第三章
泰勒 ( Taylor )公式
理论分析 用多项式近似表示函数 — 应用
近似计算 一、问题的提出
二、泰勒定理 三、几个初等函数的麦克劳林公式
四、定理的应用
五、内容小结
一、问题的提出
f ( x)在 x0处可导，则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 )
在
x
附
0
近
满
足
：
f
(
x)
Pn
(
x)
1、 f ( x ) Pn ( x )是 比( x x0 )n高 阶 的 无 穷 小 ；
2、给出f ( x) Pn ( x)的表达式.
一、问题的提出
Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n
(x
Rn( x) Rn ( x0 ) x0 )n1 ( x0 x0 )n1
Rn (1 ) (n 1)(1 x0 )n1
(n
Rn (1 ) 1)(1
Rn ( x0 ) x0 )n1
0
(n
Rn(2 ) 1)n(2
x0
)n1
1在x与x0之间 2在1与x0之间
R(n1) n
(
)
f
( n
n1)
如何确定Pn ( x)？——确定系数a0 , a1 , , an
a0 f ( x0 )
a1 f ( x0 )
a2
f ( x0 ) 2!
,
an
f (n)( x0 ) n!
Pn ( x) f ( x0 ) f(x0)(xx0)f2(!x0)(xx0)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
?
f
(
x0
f )
(
x )在 Pn (
x0 x0 )
处
可导 2!a2
，
则有
,
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0
f
)
(n)
(
xx0在) x0附Pn(近n) (
x0
)
n!an
P1( x)
一、问题的提出
Pn ( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n