高二数学（选修2-1 ）空间向量试题宝鸡铁一中司婷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 60 分）．1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则 AB1与 C1B 所成的角的大小为（）A． 60°B． 90°C． 105°D．75°2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝A1B1，则 BE1 4与 DF1所成角的余弦值是（）A．15B．1172图8D．3C．2173．如图， 1 1 1—是直三棱柱，∠=90°，点1、 1 分别是 1 1、A B C ABC BCA D F A BA1C1的中点，若 BC=CA=CC1，则 BD1与 AF1所成角的余弦值是（）A．C．30110B．230图1515D．104．正四棱锥S ABCD 的高 SO 2 ，底边长AB 2 ，则异面直线BD 和 SC 之间的距离（）．15．5C．2 5A5B55 5．已知ABC A1 B1 C1是各条棱长均等于 a 的正三棱柱， D 是侧棱 CC1的中点．点 C1到平面 AB1 D 的距离（）A． 2 a B． 2 a48A 1D．5C110B1D A CB图C．32 a D． 2 a 426．在棱长为 1 的正方体ABCD A1 B1C1D1中，则平面 AB1C 与平面 A1 C1 D 间的距离（）A．3B．3C．2 3D．363327．在三棱锥－中，⊥，＝＝1，点、D 分别是、的中点，⊥底P ABC AB BC AB BC2PA O AC PC OP 面 ABC，则直线 OD与平面 PBC所成角的正弦值（）A．21B．8 3C210 D ．2106360308．在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB 90，侧棱 AA1 2 ，D，E 分别是CC1与A1B的中点，点 E 在平面AB D 上的射影是ABD 的重心G．则A1B 与平面 AB D所成角的余弦值（）A．2B．7C．3D．3 33279．正三棱柱ABC A1 B1C1的底面边长为3，侧棱AA133 ，D是C B延长线上一点，2且 BD BC ，则二面角B1AD B 的大小（）A．3B．6C．5D．26310．正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面边长为 2 2 ，侧棱长为4， E，F 分别为棱AB，CD的中点，EF BD G ．则三棱锥B1EFD1的体积V（）A．6B．16 3C．16D．1663311．有以下命题：①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a, b 的关系是不共线；② O , A, B,C 为空间四点，且向量OA, OB, OC不构成空间的一个基底，则点 O, A, B,C一定共面；③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底，则向量 a b, a b, c 也是空间的一个基底。

其中正确的命题是： （）（ A ）①② （ B ）①③ （ C ）②③ （ D ）①②③12. 如图：在平行六面体 ABCDA 1B 1C 1D 1 中， M 为 A 1C 1 与 B 1D 1 的交点。

若 AB a ，AD b ， AA 1 c 则下列向量中与 BM 相等的向量是（）D1C1M（ A ）1 a1b c(B) 1 a1b c222 2（ C ） 1 a1b c（ D ） 1a1b c2 222A1B1DCA B二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 30 分）．13．已知向量 a (0,1,1 ) ， b(4,1,0) ，|a b |29 且0 ，则= ____________.14 ．在正方体ABCD A 1 B 1C 1D 1 中， E 为 A 1B 1 的中点，则异面直线 D 1E 和 BC 1间的距离．15． 在棱长为 1 的正方体 ABCD A 1 B 1C 1D 1 中， E 、 F 分别是 A 1B 1 、 CD 的中点，求点 B 到 截面 AEC 1F 的距离 ．16．已知棱长为 1 的正方体 AB CD －AB CD 中， E 、F 分别是 B C 和 CD 的中点，点 A 到平1 1 1 11 1 1 1 1面 D B EF 的距离．17．已知棱长为 1 的正方体 AB CD －A 1B 1C 1D 1 中， E 是 A 1B 1 的中点，求直线 A E 与平面 AB C 1D 1所成角的正弦值．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共 60 分）．18．（ 15 分）已知棱长为 1 的正方体 AB CD － A 1B 1C 1D 1，求平面 A 1B C 1 与平面 AB CD 所成的二面角的大小19．（ 15 分）已知棱长为 1 的正方体 AB CD － A 1B 1C 1D 1 中， E 、 F 、 M 分别是 A 1C 1、A 1D 和B 1A 上任一点，求证：平面 A 1EF ∥平面 B 1MC ．20．（ 15 分）在四棱锥 P —ABCD 中，底面 ABCD 是一直角梯形， ∠ BAD =90°，AD ∥ BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且 PA ⊥底面 ABCD ， PD 与底面成 30°角．（ 1）若 AE ⊥ PD ， E 为垂足，求证： BE ⊥ PD ；（ 2）求异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值．21．（ 15 分）已知棱长为 1 的正方体 A C 1， E 、 F 分别是 B 1C 1、 C 1D 的中点．（ 1）求证： E 、 F 、 D 、 B 共面； （ 2）求点 A 1 到平面的 B DEF 的距离；（ 3）求直线 A 1D 与平面 B DEF 所成的角．参考答案一、 1． C ； 2． A ； 3． B ；4． A ；5． A ； 6． C ； 7． A ； 8． B ； 9．D ； 10．B ； 11． A ；12． C ；二、 13． 314．26 15 ． 6 16 ．1； 17 ．10335三、18． 解：如图建立空间直角坐标系，A 1C 1 ＝（－ 1， 1，0）， A 1B ＝（ 0， 1，－ 1）设 n 1 、 n 2 分别是平面 A BABz11D 1C 1由 n 1 A 1 B可解得 n ＝（ 1 1 1A 11 ， ， ）B 1n ACC1 1 1D易知 n 2 ＝（ 0， 0， 1），AyBxn 1 n 23所以， cos n 1 , n 2 ＝n 1n 23所以平面 A 1B C 1 与平面 AB CD 所成的二面角大小为 a rccos3或－ a rccos3 ．3319．证明：如图建立空间直角坐标系，zD 1C1则 A1C1＝（－1，1，0）， B1 C ＝（－1，0，－1）EA 1B1A1D ＝（1，0，1），B1 A ＝（0，－1，－1）M yF设 A1E A1C1，A1 F A1D ，B1 M B1A（、、D CR ，且均不为0）A B x设 n1、 n2分别是平面A EF与平面B MC的法向量，11由n1 A1 E0可得n1A1C10即n1 A1C10n1 A1 F 0n1A1D 0n1 A1D 0解得：1n ＝（1，1，－1）由n2 B1 M0可得n2B1A 0即n2 B1 A 0n2 B1C 0n2 B1 C 0n2 B1C 0解得 n2＝（－1，1，－1），所以 n1＝－ n2，n1∥ n2，所以平面 A1EF∥平面 B1MC．20．（ 1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面 ABE，故 BE⊥ PD．（ 2）解：以A 为原点，、、所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点、AB AD APC D的坐标分别为（a， a，0），（0，2a，0）．∵PA⊥平面 ABCD，∠ PDA是 PD与底面 ABCD所成的角，∴∠ PDA=30°．于是，在 Rt △AED中，由AD=2a，得AE=a．过E作EF⊥AD，垂足为F，在 Rt △AFE中，由AE=a，∠ EAF=60°，得 AF=a， EF=3a，∴ E（0，1a,3a）2222于是， AE{ 0, 1a,3a}, CD ={－a，a，0}2 2设AE 与 CD 的夹角为θ，则由AE CD 0 ( a)1a a3 a222cos θ =4|AE| |CD |( 1a) 2( 3 a) 2 ( a)2a2020222与 所成角的余弦值为2 ． AECD421．解：（ 1）略．（ 2）如图，建立空间直角坐标系D —xyz ,则知 B （ 1， 1， 0）， E( 1 ,1,1), F (0, 1,1).22设 n ( x, y, z)是平面 BDEF 的法向量 .由nDB, nDF ,DB(1,1,0), DF (0, 1,1)2 得nDB x y 0则xyn DF1 yz 0z 1y.22令 y1,得 n ( 1,1,1) ．2设点 A 在平面 B DFE 上的射影为 H ，连结 A D ，知 A D 是平面 B DFE 的斜线段．111A D( 1,0, 1), AD n( 1)( 1)1 ( 1)( 1 ) 3 .12 2又 | A 1D| ( 1)2 O 2 ( 1)2 2 ,| n | ( 1)212 ( 1 ) 23 ,2 2A 1D n 32 cos A 1D, A 1H2 3 .| A 1D | | n |222| A 1 H | | A 1D | cos A 1D, A 1H2 21.2即点1到平面DFE 的距离为 1．AB（ 3）由（ 2）知， A H=1，又 A D=2 ，则△ A HD 为等腰直角三角形，111A 1 DH DA 1 H 45A 1 H平面 BDFE , HD 是 A 1 D 在平面 BDFE 上的射影 ,A 1 DH 就是直线 A 1 D 与平面 BDFE 所成的角 ,A 1 DH 45 .。