f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
其中g ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
2 t 1 (t 1) t (t 1)t 解 : (1) s(t ) ( ) t t2 2t 2 t 2 1 t 2 1 2 2 t t
解：(2)y′＝(exsin x)′＝(ex)′sin x＋ex(sin x)′
＝exsin x＋excos x
＝ex(sin x＋cos x)．
2 2
x＋3 x＋3′x ＋3－x＋3x ＋3′ 解：(3)y′＝( 2 )′＝ x ＋3 x2＋32
x2＋3－x＋3×2x ＝ x2＋32
4
-2
(2) y= x
(3) y= x
2 y 2 x 3 x
3
y 4 x
3
x (4) y= 2
y 2 ln 2
x
(5) y=log3x y
1 x ln 3
1、y=5 2、y=xn 3、y=sinx 4、y=cosx 5、y=ax 6、y=ex 7、y=logax 8、y=lnx 9、y=x5+sinx-7x 10、y=6x-cosx+log7x 11、y=ex+lnx+9x7 12、y=4ex-2cosx+7sinx
3.2.1几个常用 函数的导数
一、复习
1.求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f ( x x) f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x x) f ( x) ; x x
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)· 3 ＝18x2－8x＋9. 解： (2)法二： ∵y＝(2x2＋3)· (3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
∴y′＝18x2－8x＋9.
例 2： 求下列函数的导数： x－ 1 (3)y＝ ； (4)y＝x· tan x. x＋ 1 x－1 解：(3)y′＝( )′ x＋1
公式二：x ' 1
二、几种常见函数的导数
3) 函数y=f(x)=x2的导数.
解 : y f ( x) x2 ,
y f ( x x) f ( x) ( x x)2 x2 2x x x2 ,
y 2 x x x 2 2 x x, x x
x－1′x＋1－x－1x＋1′ ＝ x＋12
x＋1－x－1 ＝ 2 x＋1
2 ＝ x＋12
例 2： 求下列函数的导数： x－ 1 (3)y＝ ； (4)y＝x· tan x. x＋ 1 xsin x 解：(4)y′＝(x· tan x)′＝( )′ cos x xsin x′cos x－xsin xcos x′ ＝ cos2x
(5) y (2 x 3) 1 x ; 1 (6) y 4 ; x (7) y x x ;
2
1 x2 (3) y ; 2 2 (1 x ) 1 (4) y ; 2 cos x 6 x3 x (5) y ; 2 1 x 4 (6) y 5 ; x
练习：1 求下列幂函数的导数
（1）y x 1 ( 2) y 2 x 3 (3) y x
3
5
( 4) y x
5
注意:关于a x 和x a 是两个不同
的函数,例如:
(1)(3 ) 3 ln 3
x
x
(2)(x ) 3 x
3
2
练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5
y 0
2
( x ) sin x x (sin x) 解：y 2 sin x
2 ' 2 '
'
2 x sin x x cos x 2 sin x
2
x3 4. 求 y 2 在点x 3处的导数 x 3
1 ( x 3) ( x 3) 2 x 解：y 2 2 ( x 3)
解 : (1)h( x) ( x sin x) x sin x x(sin x) sin x x cos x (2) f ( x) (2 x ln x) (2 x) ln x (2 x)(ln x)
2 ln x 2
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子 的积，再除以分母的平方,即：
1 1 公式三：（ ） ' 2 x x
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x a , 则f '( x) ax a 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
sin x＋xcos xcos x＋xsin x ＝ cos2x
2
sin xcos x＋x ＝ . cos2x
练习：求下列函数的导数 x＋ 3 1 1 2 x (1)y＝x(x ＋ ＋ 3)； (2)y＝e sin x； (3)y＝ 2 . x x x ＋3 1 1 1 2 3 解：(1)∵y＝x(x ＋ ＋ 3)＝x ＋1＋ 2，∴y′＝3x2－ 23. x x x x
2
( x ) (sin x) 2 x cos x
2
3 2 (2)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
3 2 解：g ( x) ( x x 6 x) 2 3 2 3 2 ( x ) ( x ) (6 x ) 3 x 3 x 6 2
3
法则 2: 两个函数的积的导数，等于第一
个函数的导数乘以第二个函数加上第一个 函数乘以第二个函数的导数．即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
法则3:
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
例2： (1)求函数h( x) x sin x的导数. (2)求函数f ( x) 2 x ln x的导数.
2
2
解 : (2) f ( x) (
x (2)求函数f(x) x 的导数. e x x x
x e x ( e ) ) x x 2 e (e ) x x x x x e x(e ) e xe 1 x x x 2 2x (e ) e e
x 3. y 的导数 sin x
1、 已知函数 y＝xlnx （1）求这个函数的导数 （2）求这个函数的图像在点 x 1 处的切线方程
【变式训练】
说明:上面的方 法中把x换成 x0即为求函数 在点x0处的 导 数.
2.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ( x )在x= x0处的函数值,即 f ( x0 ) f ( x) |x x0 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
2 y 2 x x x f ( x) ( x 2 ) ' lim lim lim (2 x x) 2 x. x 0 x x 0 x 0 x
公式三：（x ） ' 2x
2
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数.
解 : y f ( x) x,
y f ( x x) f ( x) ( x x) x x,
y 1, x y f ( x) x ' lim 1. x 0 x
(7) y 3 x; 2
练习：已知函数 f x 的导函数为 f ' x ， 且满足 f x 3x 2 xf ' 2 ，
2
则 f ' 5
.
如何用导数解决与切线有关的问题?
设切点
求出切线方程 依据题意，代人条件 代数求解 得到结论
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 4.求切线方程的步骤： （1）找切点 （2）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数.
解 : y f ( x) C,
y f ( x x) f ( x) C C 0,
y 0, x y f ( x) C lim 0. x 0 x
（3）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
曲线的切线问题，是高考的常见题型之 主要有以下几类问题： 一、已知切点，求曲线的切线
1、函数 y lg x 在点 1,0 处 的切线方程是 __________