− 3 − 6×3 + 3 1 当x = 3时, f ′(3) = =− 2 2 (3 + 3) 6
2
− x − 6x + 3 = 2 2 ( x + 3)
2
• [点评] 不加分析，盲目套用求导法则， 会给运算带来不便，甚至导致错误．在求 导之前，对三角恒等式先进行化简，然后 再求导，这样既减少了计算量，也可少出 差错．
2
x 2. y = 的导数 sin x
( x ) ⋅ sin x − x ⋅ (sin x) 解：y = 2 sin x
2 ' 2 ' '
2
2 x sin x − x cos x = 2 sin x
2
x+3 4. 求 y = 2 在点x = 3处的导数 x +3 2 1⋅ ( x + 3) − ( x + 3) ⋅ 2 x ' 解：y = 2 2 ( x + 3)
练习： 练习：求下列函数的导数：
(1)y=x ³-2x+3 y=x³ 2 3 (2)y＝ －2＋ －3 x x (3)y＝(2x ＋3)(3x－2) x x (4)y＝x－sin ·cos 2 2
2
(1)y′ =3x²－2 － (2)y′ =4x＋9x² ＋ (3) y′ =18x²－8x＋9 － ＋ (4) y′=1－1/2cosx －
导数的运算法则:
′ = f ′( x) ± g ′( x) [ f ( x) ± g ( x)]
f ( x) g ( x) ]′ = f ′( x) g ( x) + f ( x) g ′( x) [
f ( x) ′ f ′( x) g ( x) − f ( x) g ′( x) ( g ( x) ≠ 0) g ( x) = 2 [ g ( x)]
已知曲线S 若直线l与 例4.已知曲线 1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线 与S1,S2均 已知曲线 若直线 相切,求 的方程 的方程. 相切 求l的方程 解:设l与S1相切于 设 与 相切于P(x1,x12),l与S2相切于 与 相切于Q(x2,-(x2-2)2). 则与S 相切于P点的切线方程为 点的切线方程为y-x 对于S1 , y′ = 2x, 则与 1相切于 点的切线方程为 12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 即 ① 相切于Q点的切线方程为 点的切线方程为y+ 对于S2 , y′ = −2( x − 2), 与S2相切于 点的切线方程为 (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.② ),即 -4.②
3.2.2
导数的计算
基本初等函数的导数公式：
公 式1.若 f ( x ) = c , 则 f '( x ) = 0; 公 式 2.若 f ( x ) = x n , 则 f '( x ) = nx n −1 ; 公 式 3.若 f ( x ) = sin x , 则 f '( x ) = cos x ; 公 式 4.若 f ( x ) = cos x , 则 f '( x ) = − sin x ; 公 式 5.若 f ( x ) = a x , 则 f '( x ) = a x ln a ( a > 0); 公 式 6.若 f ( x ) = e x , 则 f '( x ) = e x ; 1 公 式 7.若 f ( x ) = log a x , 则 f '( x ) = ( a > 0, 且 a ≠ 1); x ln a 1 公 式 8.若 f ( x ) = ln x , 则 f '( x ) = ; x
2x1 = −2( x2 − 2) x1 = 0 x1 = 2 . ⇒ 或 因为两切线重合, 因为两切线重合 ∴ 2 2 − x1 = x2 − 4 x2 = 2 x2 = 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 则为 若 则为 所以所求l的方程为 所以所求 的方程为:y=0或y=4x-4. 的方程为 或
• [例1] 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)2(x－1)； (2)y＝x2sinx；
1 2 3 (3)y＝ x ＋x2＋x3； 2 (4)y＝xtanx－ . cosx
[点评] 较为复杂的求导运算，一般综合了 和、差、积、商的几种运算，要注意：(1)先 将函数化简；(2)注意公式法则的层次性．
[解析]
2x
∵y＝sin ＋cos 4 4
2x 2 2x 2x
4x
4x
＝(sin ＋cos ) －2sin cos 4 4 4 4 1 2x 1 1－cosx 3 1 ＝1－ sin ＝1－ · ＝ ＋ cosx， 2 2 2 2 4 4
3 1 1 ＋ cosx′＝－ sinx. ∴y′＝ 4 4 4
求下列函数的导数: 补充练习:求下列函数的导数 求下列函数的导数
1 2 (1) y = − 2 ; x x x (2) y = ; 2 1− x (3) y = tan x ; (4) y = (2 x 2 − 3) 1 + x 2 ;
1 4 答案: 答案 (1) y′ = − 2 + 3 ; x x
例4:求曲线y=x3+3x－8在x=2 4:求曲线y=x +3x－ 求曲线 处的切线的方程. 处的切线的方程.
解 : f ′( x) = ( x + 3 x − 8)′ = 3 x + 3
3 2
∴ f ′(2) = 3 × 2 + 3 = 15
2
又过点(2,6),∴ 切线方程为 : y − 6 = 15( x − 2),即 15 x − y − 24 = 0
x 2x 练习：求函数 y＝－sin (1－2sin )的导数． 练习 2 4
y′＝－ ＝－1/2cosx. ＝－
1 4 某运动物体自始点起经过t秒后的距离 满足s= t 例3.某运动物体自始点起经过 秒后的距离 满足 某运动物体自始点起经过 秒后的距离s满足 4 3 2
-4t +16t . (1)此物体什么时刻在始点 此物体什么时刻在始点? 此物体什么时刻在始点 (2)什么时刻它的速度为零 什么时刻它的速度为零? 什么时刻它的速度为零 所以t 解得: 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以 2(t-8)2=0,解得 令 即 所以 解得 t1=0,t2=8.故在 或t=8秒末的时刻运动物体在 故在t=0或 秒末的时刻运动物体在 故在 始点. 始点 (2) Q s′(t ) = t 3 − 12t 2 + 32t , 令s′(t ) = 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 解得 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零 和 秒时物体运动的速度为零 秒时物体运动的速度为零. 故在
1 + x2 (2) y′ = ; 2 2 (1 − x )
(4) y′ = 6x3 + x 1+ x
2
1 ′= ( 3) y ; 2 cos xx − 3x + 5x − 4 的导数
3 2
解 : y′ = (2 x − 3 x + 5 x − 4)′
3 2
= 6x − 6x + 5
例2：)求函数h( x) = x sin x的导数. (1 (2)求函数f ( x) = 2 x ln x的导数.
解 : (1)h′( x) = ( x sin x)′ = x′ sin x + x(sin x)′ = sin x + x cos x
(2) f ′( x) = (2 x ln x)′ = (2 x)′ ln x + (2 x)(ln x)′ = 2 ln x + 2