0) 2)
0 0
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
总结:如何求平面的法向量
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
a
a AP 0
P
A
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1 (1)直线OA的一个方向向量坐标为____(1_,_0_,0_)___ (2)平面OABC 的一个法向量坐标为___(_0_,0_,_1_)___
z
O1
A1
o
A
x
C1
B1
C
y
B
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
解：设平面的法向量为n （x，y，z），
则n AB，n AC （x，y，z）(2, 2,1) 0，（x，y，z）(4,5,3) 0,
即24xx
2y 5y
z0 ,
3z 0
取z
1，得
x
1 2
y 1
n (1 , 1,1), | n | 3
2
2
求平面ABC的单位法向量为 (1，- 2，2）
3 33
练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC
的中点， 求平面EDB的一个法向量.
解：如图所示建立空间直角坐标系.
Z
依题意得D(0, 0, 0), P(0, 0,1),
P
E(0, 1 , 1 ) B(1,1，0)
22
DE (0, 1 , 1) DB =(1,1，0)
22
设平面EDB的法向量为 n (x, y,1)
D
则n DE, n DB
A
于是
1 2
y
1 2
0
n
1,
x y 0
1,
1 X
E
C Y
B
用向量方法解决几何问题
因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置，所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系.
小结 ：
在计算和证明立体几何问题时， 如果能够在原图中建立适当的空间直 角坐标系，将图形中有关量用坐标来 表示，利用空间向量的坐标运算来处 理，则往往可以在很大程度上降低对 空间想象的要求；求向量坐标的常用 方法是先设出向量坐标，再待定系数.
3.2立体几何中的向量方法 ——方向向量与法向量
探究：P102“思考”
如何确定一个点在空间的位置？在空 间中给定一个点A和一个定方向（向量）， 能确定一条直线在空间的位置吗？给定 一个定点和两个定方向（向量），能确 定一个平面在空间的位置吗？给定一个 定点和一个定方向（向量），能确定一 个平面在空间的位置吗？
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
例3.如图所示, 正方体的棱长为1 平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-1_,_-1_,_1_)___
(1,1, -1)
z
O1
A1
o
A
x
C1
B1
C
y
B
例4：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3),求平面ABC的 单位法向量。
１．直线的方向向量
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量
•l
A•
P
a
直线ｌ的向量式方程 AP t a
2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面
的法向量
l
平面 α的向量式方程