8）A为反对称矩阵 对n维向量，有ZAZ 0
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
L
b1 b0
bn1 trA
4）设 1,L , n, 是A的全部特征值，那么
相似矩阵有相同的特征多项式，特征值，行列式,迹。
11.对称矩阵 1）对称矩阵合同于一对角矩阵 (ch5,th2) (P213)
即 CAC 为对角阵，其中，C可逆。
2)设 A是复对称矩阵，则存在复矩阵 C，使得
CAC
Er 0
0
0
C可逆,秩A=r,(P221,th3)
3)设 A是实对称矩阵，则存在实矩阵 C，使得
14.准对角矩阵
1）A=diag(A1,A2,L
,A )为准对角阵，则 S
A
A1
A2 L
AS
2）A=diag(A1,A2,L ,AS )为准对角阵，则A可逆当且仅当
Ai (i 1, 2,L
,
s)都可逆，且有A
1
=diag(A 1 1
,A
21,L
,A 1 ) S
3）
A=diag(A ,A 1
2
,L
第四章 矩阵 矩阵是研究其余各章的一种重要工具，贯穿高等代数 的始终，内容繁多而零散。
一、内容复习 1.矩阵运算： 加、减、乘、方幂、数乘、转置、共轭、矩阵多项式 交换矩阵等及运算性质。 加法：（P165） 减法（P166）
1）交换律： A B B A
2）结合律： (A B) C A (B C) 3）零元： O A A O A 4）负元： (A) A A (A) O
2）AB=BA
1 2 1
3）当A=
3
4
2 时，求B。
1 2 2
例7.
设A、B分别为n
n和m
m可逆矩阵，求
A 0
0 B
和
0 B
A
0
.
例8. 若A、B可逆，A B是否可逆？
例9. 设A、B、C都是nn矩阵，ABC=E.
1) A; B;C; AB; BC;CA中哪些可逆？求其逆； 2）BCA E.ACB E.CAB E.BAC ECBA E中哪些式子成立？
7）半正定矩阵
实对称矩阵A半正定
存在可逆阵C，使CAC=
Er 0
0 0
；
有可逆阵B,使A=BB；
A的一切主子式都不小于零；
A的一切主子阵都半正定；
对任意n m实矩阵C，都有CAC为半正定矩阵；
A的特征值i 0,i 1, 2,L , n.
12.反对称矩阵 (P200 ,习题12)
4）P,Q可逆，则秩A=秩PA=秩AQ=秩PAQ,(th4)
5）雪尔佛斯特（Sylvester）不等式
设A, B分别为s n,n m矩阵，则秩AB 秩A+秩B-n；
Ch4 补充题10
6）佛罗别尼斯(Frobenius)不等式
秩（ABC） 秩AB 秩BC 秩B
7) 设A为n m实矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
1）初等矩阵都可逆：
P
i,
j 1
P
i,
j,
P i(c)1
P
i(
1 c
)
,
P
i,
j
k
1
P
i,
j
k
2）初等变换不改变矩阵的秩；
7.矩阵的等价（第一种等价关系）
定义11：P189
定理5：利用等价化矩阵为标准形
PAQ
Er 0
0
0
,
或者
A
P
Er 0
0 0
Q
8.分块矩阵（注意分法）
1）分块矩阵的运算；加法，乘法，数乘
trA 1 L n A 12 L n
15.关于矩阵的秩的结论
1）秩A=秩A=秩A=秩（kA）,k 0;
2）秩（kA+lB） 秩A 秩B, k,l为任意常数
特别的：秩（A B） 秩A 秩B,
3）秩AB min{秩A,秩B}，
秩（A A 1
2
L
As） min{秩A1，秩A2，L
，秩A }； s
2）混乘结合律1：(kl) A k(lA)
混乘结合律2： k(AB) (kA)B A(kB)
3）因子1 1A A
方幂：（P172） 1） An Am Anm 2） ( An )m Anm 3） An A n
转置：（P173） 1）线性性：(kA lB) kA lB
2）对合性： ( A) A
1 0 0
例2.设
A
1
1
0
0 1 1
求所有3阶方阵B，使得AB
和BA的逆矩阵相等。 即 (AB)1 (BA)1
1 2 1
例3.矩阵
A
3
4
2
1 2 2
已知B与A满足关系式：AB A B.求B
例4.
1）把矩阵
a
0
0
a1
表成形为
1 0
x
1
和
1
x
0
1
的矩阵的乘积； P204补充题8
2）方阵A为幂零矩阵 A的特征值全为0.
3)若 Ak 0 那么
① aE A, aE A 都可逆，其中 a 0
② (E A)1 E A L Ak1 Ch4 习题19
4）n级矩阵A为幂零矩阵 对任意自然数 k都有 trAk 0
17.矩阵的迹 定义：P297 ch7
trA a11 a22 L ann ,
16.分块矩阵的秩
1) 秩（A,B）=秩（B,A）
2)
秩（A,B）=秩（ A） B
3)
秩（ A 0
0 ）=秩A+秩B B
4) 秩（0 A ）=秩AB+n
B En
5) 秩（ B BC）=秩B+秩ABC
AB 0
17.矩阵的分解
P 204
.11,12,
P394
.14
二.典型例题 例1.求出满足 A2 E 的一切二阶方阵A.
6）正定矩阵
定义5：P227CH5
实对称矩阵A正定
有可逆阵C，使CAC=E； 有可逆阵C,使A=CC；
A的一切主子式都大于零； A的一切顺序主子式都大于零； A的一切主子阵都是正定矩阵；
对任意n m实矩阵，且秩C=m,都有CAC是正定的；
存在正定矩阵B，使A=B2 ;
对任意实可逆阵T,TAT正定； A的特征值都大于0
哪些不一定成立？
例10. 设Ak =0,E为单位阵：
1）证明：(E A)1 E A A2 L Ak1;
2)问E A可逆吗？ 注：幂零矩阵的特征值为零 例11. 设A3 E，B A2 2A 2E，求B1。
例12. 设方阵A满足：aA2 bA cE 0，c 0,
证明：A是可逆方阵，并求其逆。
2）分块（广义）初等矩阵：
0
Em
En 0
,
P 0
0 Em
,
Em 0
0 P
,
Em 0
0 En
,
Em P
0
En
3）分块矩阵的应用。
参看CH4，第七节
9.矩阵的合同（第二种等价关系） 定义2：P209 CH5
10.矩阵的相似（第三种等价关系） 定义3：P288 CH7
例18. 设A是对合矩阵，则A也是对合矩阵。
例19. 设A是幂等矩阵（A2=A），B也是幂等矩阵，
则A+B是幂等矩阵 AB+BA=0
3°(kA)1
1 k
A1
4° ( A1)1 A
3) 定理4：P.Q 为可逆矩阵 那么，秩B 秩PB 秩BQ
4）逆矩阵的求法 1°公式法： A1 1 A
A
行初等变换
2°初等变换法；（P192 例）（A | E） （E | A-1）
3°分块矩阵求逆 （P194 例1）
5.伴随矩阵
定义9：P178
1）AA AA A E; 2） A A n1 n 2; （P202 习题26）
3）( A) A n2 A; n 2 （P203 补充题5）