l
y
x2 y2 x p ,
· N M
化简得 y2 2 px p2 ( p 0).
· K
Fx
10
解法三：取过点Ｆ且垂直于l 的直线为x轴，x轴
与l交于Ｋ，以线段ＫＦ的垂直平分线为y轴建立直角
坐标系，
则点Ｆ（
p 2
,０），l的方程为x
p 2
.
l
设动点Ｍ（x,y),由抛物线定义得 N
y
M·
(x p )2 y2 x p ,
解析法
几何关系式
代数关系式
6
2.抛物线的标准方程
建系
求曲线方程
的基本步骤
是怎样的？
设点
l
· N M ·F
列式
化简 证明
7
2-1.抛物线的标准方程的推导
设一个定点F到一条定直线l的距离为常数p (p>0)，
如何建立直角坐标系,求出抛物线的方程呢？
l
· N M
· K
F
8
解法一：以l为y轴，过点Ｆ且垂直于l的直线为x轴
2
赵州桥
3
4
抛物线的画法 数学这门学科不仅需要观察，还需要实验。（欧拉语）
5
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线
l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做 l
抛物线.
N
定点 F 叫做抛物线的焦点,
定直线 l 叫做抛物线的准线.
M· ·F
即: 若 MF 1, 则点M的轨迹是抛物线. MN
抛物线及其标准方程（一）
吉水县第二中学
刘建华
1
知识回顾
我们在哪些地方见过或研究过抛物线？ 1、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线； 2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹是抛
物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨迹； 3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、
喷泉的纵截面都是抛物线。
y
· N M · K o F x
一般地，我们把顶点在原点、焦点F 在坐标轴 上的抛物线的方程叫做抛物线的标准方程.
但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位 置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还 有其它形式.
13
2-3.抛物线标准方程的其他形式
l
· N M
y
· N M
·F
· K o F x
· · · ·
2
2
· K o F x
化简得y2 2 px( p 0).
11
2-2.抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程.
y
· 其中 p 为正常数，它的几何 N M · 意义是:焦点到准线的距离. K o F x
12
对“标准”的理解 y2 = 2px（p＞0）
l
· N M ·F
向下
x2 2 py F (0, p )
( p 0)
2
y p 2
15
３、例题讲解： 例1 根据下列条件求抛物线的标准方程：
（1） 已知抛物线的焦点坐标是 F(2, 0) （2）已知抛物线的准线方程是 x 3
2标为(
p 2
,
0)根据题意有
注意：求抛物线的焦点坐标一定要 先把抛物线的方程化为标准形式.
17
练习
2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）； y2 =12x
（2）准线方程 是x = 1 ；
4
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2.
y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y或 x2 = -4y.
18
p 2
2故
p
4
因此，标准方程为 y2 8x
(2)设抛物线的标准方程为 y2 2 px(x 0)
其标准方程为 x 3 由题意有 p 3故 p 3
2
22
因此标准方程为 y2 6x
16
练习
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）y=－2x2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 －y =0
建立直角坐标系，则点Ｆ（p ,０）．
设动点Ｍ（x,y),由抛物线定义得
(x p)2 y2 x , 化简得y2 2 px p2 ( p 0).
y
· N M
· o
Fx
9
解法二：以定点Ｆ为原点，过点Ｆ且垂直于l的直 线为x轴建立直角坐标系.
则点Ｆ（0 ,０）, l 的方程为x= - p ．
设动点Ｍ（x,y),由抛物线定义得
小结与作业:
1、抛物线的定义和标准方程的推导；
2、抛物线的四种标准方程及相应的焦点坐标、准 线方程；
3、数形结合的思想。
形（曲线位置特征）
数（方程形式特征）
定位分析
定量分析
作业：课本 P37： 1，2，3 19
20
F
M
lN
y
F
M
o lN
x
14
﹒图象 开口方向 y o x 向右
标准方程 y2 2 px ( p 0)
焦点
F ( p , 0) 2
y
﹒o x 向左 ﹒y
向上 ox
y2 2 px
p
F ( , 0)
( p 0)
2
x2 2 py
p
F (0, )
( p 0)
2
准线
x p 2
x p 2
y p 2
﹒y o x