抛物线及其标准方程
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生活中存在着各种形式的抛物线
2
3
互动探究
准线
探究1、我们得到的抛物线 上的点M具有怎样特征？
到直线l 的距离与到点F的距 离相等
M d
焦点
F
探究2、根据点M总结抛物线的定义。l
平面内与一个定点F和一条定直线l (F l)
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点F叫做抛物线的焦点。
6
2
2
21
课堂检测
2、根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（－2，0） ; y 2 8x
（2）准线方程是
y
1 3
; x2 4 y 3
（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上.
x 2 8y
22
课堂检测
3、抛物线 x 2 4 y 上的点P到焦点的距
离是10，求P点坐标 .
解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1） 根据抛物线定义可知点P到焦点的距离与到准 线的距离相等， ∴yp+1=10，求得yp=9， 代入抛物线方程求得x=±6 ∴P点坐标是（±6，9） 故答案为：（±6，9）
定直线l 叫做抛物线的准线。
动一动手 4
互动探究
思考：若定点F在定直线l上，那么动点 的轨迹是什么图形？
过点F且垂直于l的一条直线
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方程推导
l
想
H M·
一
K ·F
想
设|FK|=p（p>0）
如何建立直角坐标系？
6
抛物线的标准方程：
如图，以过F点垂直于直线l的直线为x轴，
F和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系.
3、注重数形结合和分类讨论的思想。 做题时注重以形助数！
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抛物线的标准方程：
标准方程 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F ( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
F
x o
F (0, p) 2
y p 2
y
o
x
F
F (0, p) 2
y p 2
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课堂检测
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y 2 8x; （2,0）；x 2
（2）x 2 4 y; （0,1）；y 1
（3）2 y 2 5x 0（; 5 ,0）；x 5
8
8
（4）y 1 x2. （0,- 3）；y 3
将点（-4，-2）带入方程得：4=8p,得 2p=1
所以 y 2 -x
设抛物线的方程为 x2 -2 py（p 0）, 将点（-4，-2）带入方程得：16=4p,得 p=4
所以 x2 8 y
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2、求满足下列条件的抛物线方程：
(2)焦点在直线x-2y-4 =0上
解 那：么若p焦点 在4 x轴即上，p则焦8点为，（此4,时0），
2
所以焦点坐标（- 3，0） ，准线方程为 x 3
8
8
（2）将方程化成标准方程 x 2 -8y
所以焦点坐标（0,-2） ，准线方程为y 2
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方法点拨
求抛物线焦点坐标和准线方程的方法：
1.把方程化为标准形式；
2.一次项（x或y）定对称轴：抛物线标准方
程中一次项是x(y),则对称轴为x（y）轴，焦
设 | FK | p,( p 0), M (x, y),
则F ( p ,0),l : x p
2
2
y
l d .M
MF d 即 (x p )2 y2 | x p |
2
2
K.
OF
x
x2 px p2 y2 x2 px p2
4
4
y2 2 px, ( p 0)（16 x
若焦点在y轴上，则焦点为（0,-2），
那么 p 2 即 p 4 ， 此时
2
抛物线的标准方程是 x 2 8 y
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归纳总结
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小结：
1、关于抛物线的定义，要注意点F不在直线L上，否则 轨迹是一条直线。
2、 抛物线的标准方程有四种不同的形式，其联系与区别 在于： (1)焦参数p的几何意义都是焦点到准线的距离； (2)方程右边一次项的变量与焦点所在的坐标轴（对称轴） 名称相同，一次项系数的正负决定抛物线的开口方向。 （3）焦点的非零坐标是一次项系数的1/4。
（2）准线方程
是x
=
1 4
；
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。
y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
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2、求满足下列条件的抛物线方程：
(1)已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.
y o
x (-4,-2)
解：如图所示，设抛物线的方程为 y 2 -2 px（p 0）,
p 0
x2 2 py
p 0
x2 2 py
p 0
焦点坐标
p ,0 2
准线方程
x p 2
点如 位何2p置,确0及定开抛口物x方线2p向焦?
一0,次p 变量定焦y点
2
p 2
开口方向看正负
0, p 2
y p 2
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椭圆和双曲线的第二定义：
与一个定点的距离和一条定直线(定点不在定 直线上)的距离的比是常数e的点的轨迹.
－－抛物线标准方程 7
探究
抛物线的标准 方程还有哪些
不同形式?
若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根 据上述办法求出它的标准方程吗？
各组分别求解开口不同时抛物线的标准方程。
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9
图形
y
HM
OF x
ly MH
FO x
l
y
F
O l
M
x H
ly O
F
H x
M
标准方程 y2 2 px
p 0
y2 2 px
2
2
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），
求它的标准方程。
解:因焦点在y轴的负半轴上,则抛物线的标准方程为 x 2 = －2py ，易知p=4,故其标准方程为:x 2 = －8y。
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变式：
1、求下列的焦点坐标和准线方程：
（1）2 y 2 3x 0； （2）8y x2 0.
解：（1）将方程化成标准方程 y2 - 3 x
y
y
N
M
NM
Fo
F' x
F'
o
Fx
当0＜e ＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线。 当e=1时，它是什么曲线呢？
抛物线
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合作探究
1、（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
解：由y2 = 6x可知对应的抛物经开口向右，又因为
ｐ＝３，故焦点坐标为F( 3 ,0) ，准线方程为 x 3
点在x(y)轴；
3.一次项系数正负定开口方向：标准方程中
一次项前面的系数为正数，则开口方向为坐
标轴的正方向，反之，在坐标轴负方向；
4.定数值：焦点中的非零坐标是一次项系数
的 1 ，准线方程中的数值是一次项系数的- 1
4
4
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变式：
2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）； y2 =12x