东南大学 数学分析试题解答 一、叙述定义(5分+5分=10分) 1.()+∞=-∞
→x f x lim .
解：设.)(,,0,0,0E M x f x E M >-<>∃><∀就有时则当δδ 2.当.)(,为极限不以时A x f a x +→
解：设.)(,,0,0E A x f a x E >->->∃>∀时使得当δδ 二、计算（9分×7=63分）
1． 求曲线2
1
0),1ln(2
≤≤-=x x y 的弧长。

解
：
=
+=⎰
dx x f s β
α
2)]('[1⎰⎰⎰
-=-++-=-+=--+21
021
022210
22
213ln )11111(11)12(1dx x x dx x x dx x x 2． 设都具有一阶连续与且己知g f x y z e x g z y x f u y ,sin ,0),,(),,,(2===偏导
数，
.,0dx
du
z g 求≠∂∂ 解：由x
z
z f x y y f x f dx du dz g dy g e dx xg z e x g y
y
∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂==++=从而知,02,0),,(3212
=32121)cos 2(cos f g e x xg f x f y ⋅++⋅+ 3.求⎰
dx x
x 2
)ln (
解：令⎰====dx x x dt e dx e x x t t
t
2)ln (,,,ln 则⎰⋅dt e e
t t
t 22=⎰=-dt e t t 2t t te e t ----22 C e t
+--2C x
x x +++-
=2
ln 2)(ln 2 4.求()2
lim x a x a x
x
x -+→()0>a
解
：()2
lim x
a x a x x
x -+→==
22222
220)]
()(ln 2ln 1[)}(]11)[(ln 2ln 1{lim x
x o a x a x x o a a x a x x +++-+++++=→ =
a
a
21+ 5.计算第二型曲面积分
⎰⎰++S
dxdy z dzdx y dydz x ,222其中S 是曲面22y x z +=夹于0=z 与1=z 之间的部分，积分沿曲面的下侧。

解：记222),,(,),,(,),,(z z y x R y z y x Q x z y x P ===，θθsin ,cos r y r x ==则2
r z =，且,10≤≤r πθ20≤≤
⎰⎰++S
dxdy z dzdx y dydz x 2
22=
⎰⎰++S
dxdydz
z y x )(2=
⎰
⎰++π
θθθ20
1
2)sin cos (2r r r r d dr =π
6．求常数λ，使得曲线积分⎰
+==-L
y x r dy r y
x dx r y x 2222,0λ
λ对上半平面的任何光滑闭曲线L 成立。

解：
7．在曲面)0,0,0(,14
2
2
2
>>>=++z y x z y x 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小。

解：设14),,(22
2
-++=z y x z y x F ,则2
,2,2z z F y y F x x F =∂∂=∂∂=∂∂,故所求切平面方程为： 0)(2
)(2)(2=-+-+-z Z z
y Y y x X x ,求得在三个坐标轴上的截距分别
为:,44,444,4442
22222222z
z y x Z y z y x Y x z y x X ++=++=++=
)1161161()44(2222222222z y x z y x Z Y X d ++++=++==22
216
11z
y x ++ 令)14(1611),,(22
2222-+++++=z y x z
y x z y x P λ
则
02132,022,022333=+-=∂∂=+-=∂∂=+-=∂∂λλλz z
z P y y y P x x x P ,,1422
2=++z y x
解得=
=y x ,16,2,2
1
==λz =min d 16 三、证明题（6分+7分+7分+7分=27分）
1． 讨论级数∑⎰
∞
=+1
1sin n n dx x
x
π
的敛散性。

解:
2． 设)(x f 在区间[0，2]上具有二阶连续导数，且对一切]2,0[∈x ，均有
1)('',1)(<<x f x f 。

证明对一切]2,0[∈x ，成立2)('<x f 。

解
：
,)0(2)
('')0)((')()0(2x f x x f x f f -+
-+=ξ2)2(2
)
('')2)((')()2(x f x x f x f f -+-+=η
])('')2)((''[21
)('2)0()2(22x f x f x f f f ⋅--+=-ξη
])('')2)((''[21
)0()2()('222x f x f f f x f ⋅----=ξη
≤⋅--+-=
])('')2)((''[2
1
)0()2(21)('22x f x f f f x f ξη++)0(21)2(21f f
22)(''2
1
)2()(''21x f x f ⋅+-⋅ξη2
22
1
)2(211x x +-+≤2
)1(2+-≤x ，
.2)('≤x f
3． 证明积分⎰
+∞
-0
dy xe xy 在),0(+∞上不一致收敛。

证
明
:
,,0,,02121时并且当设δδ<->∃>∀m m m m
⎰⎰
--=--2
1
2
1
)(m m xy xy
m m xy d e dy xe
)1(][)(211212
1x m m x m x m x m m m xy e e e e
e ------=-=-=取 ,1
δ=x ⎰∞+-=0,2
1dy xe xy
则取δ>为一常数A e A e e e e m m
)(1()1()1(112->->---δ)
4． 证明函数x x x f ln )(=在),1[+∞上一致连续。

证明：x
x x x x x
x f 22
ln ln 21)('+=
+
=
1)(',1,021ln 21)(''max ===--=
x f x x
x x x f
由拉格郎日中值定理,21212121)(')()(),,1[,x x f x f x f x x x x -⋅=-<-+∞∈∃ξδ则当 <.,21即可取δεδ==-x x。