练习 课本P74 练习
选择平均数更好：因为，此时的众数20万比中位 数25万还小，所以众数代表的是局部的数。中位数代表 的虽然是大多数公路投资的数额，但由于其不受极端值 的影响，不能代表全体，因而此时成了它的缺点。选择 平均数较好，能比较好的代表整体水平，但缺点是仍不
三种数字特征的优缺点
特征数 众数
平均数向我们提供了样本数据的重要信 息，但是，有时它也会影响我们，使我们对 总体作出片面判断。平均数反映数据的集中 趋势，但是，只有平均数还难以概况样本数 据的实际状态。当样本的平均数相等或相差 无几时，就要用样本数据的离散程度来估计 总体的数字特征。这时，我们引进了一个概 念：标准差！
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标准差
面积和=0.49 0.5
后四个小矩形的 面积和=0.26
0.4
0.25
0.3 0.22
0.2 0.15
0.1
0.08
0.04
0
0.5 1
1.5
0.14
2
2.5
2.0
0.06 0.04 0.02
3
3.5
4 4.5
月均用水量/t
思考：平均数是频率分布直方图的“重心”，
在城市居民月均用水量样本数据的频率分布
1、众数 在一组数据中，出现次数最多 的数据叫做这一组数据的众数.
2、中位数 将一组数据按大小依次排列， 把处在最中间位置的一个数据（或两个数据 的平均数）叫做这组数据的中位数.
3、平均数 (1) (2)
x = (x1+x2+……+xn) /n x = x1f1+x2f2+……+xkfk
思考 如何从频率分布直方图中估计众数、
2.平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据 的平均水平。 3.标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反 映了一组数据变化的幅度。
有两位射击运动员在一次射击测试中各射 靶十次，每次命中的环数如下：
如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出 评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选 择？
标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距 离.它用来描述样本数据的离散程度.在实际应 用中，标准差常被理解为稳定性.
1、平均距离
标准差
中位数、平均数呢？
众数：最高矩形的中点的横坐标 2.25
频率
中位数：左右两边直方
组距
图的面积相等.
2.02
0.5
平均数：频率分布直方
0.44
图中每个小矩形的面
0.3 0.28 0.16
积乘以小矩形底边中
点的横坐标之和. 2.02
0.08 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t
3、算出 xi -x 2 i=1, 2，…，n ，这n个数的 平均数，即为样本方差 s 2
4、算出方差的算术平均值，即为样本标准差s。
s2
=
1 n
x1-x
2
x2-x
2
x3-x
2 …
xn -x
2
1 n
= n i=1
xi -x
2=1 nx12 Nhomakorabeax
2 2
x
2 3
…
xn2
-n
81 练习：若甲、乙两队比赛情况如下,下列说法哪些 说法是不正确的：
平均失球数
平均失球个数的标准差
甲
1. 5
1. 1
乙
2. 1
0. 4
1、平均来说，甲的技术比乙的技术好； 2、乙比甲技术更稳定；
全对 3、甲队有时表现差，有时表现好； 4、乙队很少不失球。 24
小结
1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类： a.用样本平均数估计总体平均数。 b.用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大， 估计就越精确。
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离.它 用来描述样本数据的离散程度.在实际应用中，标准 差常被理解为稳定性.
规律：标准差越大，
大则a越大，数据的 离散程度越大；反
之，数据的离散程
度越小.
计算标准差的算法：
1、算出样本数据的平均数 x
2、算出每个样本数据与样本平均数的差
xi -x i=1, 2，…，n
x
2 16
注意：
1、标准差、方差的取值范围： 0，+
当标准差，方差为0时，样本各数据全相等，表 明数据没有波动幅度，数据没有离散性。
2、因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可 能增大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在 刻画样本数据的离散程度上是一样的，但在解决 实际问题时，一般采用标准差。
1
问题
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击 10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥 的更稳定些吗？
为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通 过样本的数据对总体的数字特征进行研究。——用样 本的数字特征估计总体的数字特征。
直方图中，各个小矩形的重心在哪里？从直
方图估计总体在各组数据内的平均数分别为 频率 多少？
0.5 组距
0.4
0.3
0.2
0.O1
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
0.25，0.75，1.25，1.75，2.25，
2.75，3.25，3.75，4.25.
月均用水量/t
3 、平均数 平均数的估计值等于每个小矩形的面积
从生产的零件内径的尺寸来看，谁生产的质量较高？
X甲≈25.401 X乙≈25.406 s甲≈0.037 S乙≈0.068
从样本平均数看，甲生产的零件内径比 乙更接近内径标准，但是差异很小；
从样本标准差看，由于s甲＜S乙，因 此甲生产的零件内径比乙的稳定程度高很 多。于是，可以作出判断，甲生产的零件 的质量比乙的高一些。
乘以小矩形底边中点的横坐标之和
0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75 ×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×
0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）. 平均数是2.02.
平均数： x = x1f1+x2f2+……+xkfk
优点
缺点
体现了样本数据的最大 无法客观反映总体
集中点
特征
中位数 不受少数极端值的影响 不受少数极端值的
影响有时也是缺点
平均数
与每一个数据有关，更 受少数极端值的影 能反映全体的信息. 响较大，使其在估
计总体时的可靠性 降低.
探究
一个企业中， 有职工的人数很多，他 们的月收入是两千左右，然后有少数人员是 经理以上层次的人，他们的月收入是三万左 右。如果是你老板，去招聘时，回答有关工 资待遇方面的问题，你更愿意用哪个数字特 征来回答这个问题呢？如果你是应聘者，你 更愿意希望老板是用哪个特征数字来回答？
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例1：画出下列四组样本数据的直方图，说 明它们的异同点.
（1）
（2）
（3）
（4）
例2：甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件. 为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件 中各抽出20件，量得其内径尺寸如下（单位：mm )
甲
X甲≈25.401
s甲≈0.037
乙
X乙≈25.406
S乙≈0.068
如何在频率分布直方图中估计众数
频率
组距 众数在样本数据的频率分布直方图中，
就是最高矩形的中点的横坐标。
0. 05.4
0.3
0.2
0.
1
O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
月平均用水
量(t)
可将众数看作直方图中面积最大长方形的“中心”
频率
如何在频率分布直方图中估计中位数
组距
0.6 前四个小矩形的
20
练习 课本P79 练习
解: 依题意计算可得
x1=900
x2=900
s1≈23.8 s2 ≈42.6
甲乙两种水稻6年平均产量的平均数相同, 但甲的标准差比乙的小,所以甲的生产比较稳 定.
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解 : (1) 平均重量约为496.86 g , 标准差约为6.55
(2)重量位于(x-s , x+s)之间有14袋白糖,所占 百分比为66.67%.