第十二章．．．．．．．轴对称1．．已知，如图．．．．D．恰好在．．．BC．．．．．．OB．．的对称点．．A．关于直线．．．．．．．．．．A．在．y．轴上，．．．BC．．⊥．x．轴于点．．．C．，点．．．．．．1．－．11．．，在直角坐标系中，点上，点．．．OED．．．＝．35．．°，求∠．．．的度数．．．．．．．．．BC．．对称，∠．．．．OBC．．．E．与点．．O．关于直线2．．已知：如图．．．AB．．．．．．．．．．2．－．3．，线段求作：线段．．．．．．．．．．MN．．．．．AB．．的垂直平分线作法：．．．图．2．－．3．《．3．．已知：如图．．．及两点．．．M．、．N．．．．．ABC．．．．．．2．－．4．，∠求作：点．．．ABC．．．两边的距离相等．．．．．．．．．．．P．点到∠．．．．P．，使得．．．PM．．＝．PN．．，且作法：．．．图．2．－．4．'．4．．已知点．．．．．．．．．．．．．．．．．B．，当点．．．P．在直线．．．l．上运动时，点．．．．．．P．．．．l．上的一个动点，探究是否存在一个定点．．．．A．在直线．．．l．外，点．．．P．为直线与．A．、．B．两点的距离总相等．如果存在，请作出定点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．B．；若不存在，请说明理由．．．．．．．．．．．．．图．2．－．5．5．．如图．．．．AD．．对称若对称，请说明．．．．．．．．．．．．．．DE．．⊥．AB．．于．E．，．DF．．⊥．AC．．于．F．，那么点．．．．E．、．F．是否关于．．．2．－．6．，．AD．．为∠．．BAC．．．的平分线，理由．．．．(．图．2．－．6．综合、运用、诊断．．．．．．．．6．．已知：如图．．．．．A．'．B．交．l．于．P．点，若．．．A．'．B．＝．a．.．．．．．l．对称，连接．．．．．A．'．与．A．关于直线．．．．．l．的同侧，点．．．．．．3．－．7．，．A．、．B．两点在直线（．1．）求．．AP．．＋．PB．．；．（．2．）若点．．＋．MB．．＞．AP．．＋．PB．．．．．．．．．．．．．．AM．．．P．点的任意一点，求证：．．．l．上异于．．．M．是直线7．．已知：．．．．A．、．B．两点在．．l．的同侧，试分别画出符合条件的点．．．．．．．．．．．．．．．M．．．．．．直线（．1．）如图．．｜最小；．．－．BM．．．．．．．．AM．．l．上求作一点．．．．．M．，使得｜．．．3．－．8．，在￥．作．（．3．）如图．．最小．．．．．．＋．BM．．l．上求作一点．．．3．－．10．．，在．．．．．M．，使得．．．AM图．3．－．10．．8．．（．．．．．．APBC．．．．的周长最小；．．．．．．P．，使得四边形．．．．．．．．．3．－．11．．，点．．1．）如图．．A．、．B．、．C．在直线．．．l．的同侧，在直线．．．．．．．l．上，求作一点，．图．3．－．11．．（．2．）如图．．P．在点．．．．．．P．、．Q．（点．．Q．的左侧）．．．．．．A．、．B．在直线．．．3．－．12．．，已知线段．．．．．a．，点．．．l．的同侧，在直线．．．．．．．l．上，求作两点且．PQ．．．．．．．．＝．a．，四边形．．．．的周长最小．．．．．APQB图．3．－．12．．】．9．．（．．边上求作一点．．．．．．P．，在．．OB．．边上求作一点．．．．．．Q．，使得Δ．．．．．．．PMQ．．．．AOB．．．．如图．．1．）已知：．．．．．OA．．3．－．13．．，点．．M．在锐角∠．．．的内部，在的周长最小；．．．．．．图．3．－．13．．（．2．）已知：如图．．．．P．到点．．M．的距离与点．．．．．．P．，使得点．．．．．P．到．．．．．．．3．－．14．．，点．．．．．OB．．边上求作一点．．．．AOB．．M．在锐角∠．．．的内部，在OA．．．．．．．．．．．边的距离之和最小．,．图．3．－．14．．10．．．已知：如图．．．．1．＝∠．．2．，∠．．．D．、．E．两点，∠．．4．．．．．3．＝∠．．ABC．．BC．．边上有．．．．．．6．－．5．，Δ．．．中，求证：△．．．．．．．．．．是等腰三角形．．．．．ABC图．6．－．5．11．．．已知：如图．．．．AD．．＝．AE．．．．．．AB．．＝．AC．．，．D．、．E．在．BC．．边上，且．．．．．．5．－．2．，Δ．．．中，．．ABC？．求证：．．．BD．．＝．CE．．．．图．5．－．2．12．．．已知：如图．．＝．AE．．，．DE．．＝．CE．．，．．．．．AC．．＝．BC．．＝．BD．．，．AD ．．．．．．5．－．3．，．D．、．E．分别为．．．AB．．、．AC．．上的点，求∠．．．．．．B．的度数．（．图．5．－．3．13．．．已知：如图．．．．．．CA．．至．E．，使．．AE．．＝．AD．．．．．．AB．．＝．AC．．，．D．是．AB．．上一点，延长．．．．．．5．－．4．，Δ．．ABC．．．中，试确定．．．ED．．与．BC．．的位置关系，并证明你的结论．．．．．．．．．．．．．．．？．图．5．－．4．拓展、探究、思考．．．．．．．．14．．．已知：如图．．．＝．90．．°，．AB．．＝．AC．．，．D．是．BC．．的中点，．．．．AE．．＝．BF．．．．．．．中，∠．．．．．．5．－．5．，．Rt．．Δ．ABC．．．BAC求证：（．．．为等腰直角三角形．．．．．．．．．．．．2．）Δ．．DEF．．．．1．）．DE．．＝．DF．．；（图．5．－．5．[．15．．．在平面直角坐标系中，点．．．．．．M．点和．．．．．．．．．．PQMN．．N．点，使四边形．．．．．．．．．．．．P．（．2．，．3．），．．y．轴上分别找到．．Q．（．3．，．2．），请在．．．．x．轴和周长最小．．．．．．（．1．）作出．．．．N．点．．．．M．点和（．2．）求出．．．．．．．N．点的坐标．．．．M．点和图．5．－．6．16．．．已知：如图．．AB．．＝．AC．．，．E．在．CA．．的延长线上，．．．．．．ED．．⊥．BC．．．．．．．中，．．．．．．6．－．6．，Δ．．ABC求证：．．．AE．．＝．AF．．.．&．图．6．－．6．17．．．已知：如图．．．ABC．．AC．．于．F．.．．．．＝．90．．°，．CD．．⊥．AB．．于．D．，．BF．．平分∠．．．交．CD．．于．E．，交．．．ACB．．．．．．6．－．7．，Δ．．ABC．．．中，∠求证：．．．CE．．＝．CF．．．．。

．图．6．－．7．18．．．如图．．．．AP．．、．BQ．．分别为∠．．．、．．．．＝．40．．°，．P．、．Q．分别在．．．．BAC．．．BC．．、．CA．．上，并且．．．ABC．．．6．－．8．，在△．．．中．，∠．．BAC．．．＝．60．．°，∠．．ACB∠．ABC．．．．．．．．．的角平分线，求证：．．＝．AB．．＋．BP．．．．．．＋．AQ．．．BQ图．6．－．8．*．19．．．如图．．．构成等腰直角三角形，问这样的．．．．．．．．．．．．．．C．点有几．．．ABC．．．．．．．．．．．．．．．．．．C．，使Δ．．．6．－．9．，若．．A．、．B．是平面上的定点，在平面上找一点个并在图．．．C．点的位置．．．．．．．．．．6．－．9．中画出图．6．－．9．20．．．如图．．．，请设计出三种不同的分法，将Δ．．．分割为三个三角形，并．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．ABC．．．．ABC．．．6．－．10．．，对于顶角∠．．．．．．A．为．36．．°的等腰Δ且使每个三角形都是等腰三角形．．．．．．．．．．．．．．．．^．图．6．－．10．．21．．．已知：如图．．EAC．．．，．EF．．⊥．AD．．于．F．.．．．．．．．B．＝∠．．．．．．7．－．8．，．AD．．是∠．．．的平分线，∠．．BAC求证：．．．．．．．．EF．．平分∠．．．AEB图．7．－．8．：．22．．．已知：如图．．．的外角．．．（∠．．．）的平分线．．．．．．．．ACB．．ACD．．AC．．边于．．．ABC．．．．．．7．－．9．，在Δ．．F．，交∠．．．中，．．CE．．是角平分线，．．．．．．EG．．∥．BC．．，交于．G．，探究线段．．．．．．．．．．．．．．．．．．EF．．与．FG．．的数量关系并证明你的结论．图．7．－．9．23．．．如图．．∥．BN．．，请按以下步骤画图并回答．．．．．．．．．．．．．．．．AM．．，使．．．．AB．．的两个端点作射线．．．．．．．．AM．．，．BN．．．7．－．10．．，过线段—．（．1．）画∠．．AEB．．．．．．．E．，∠．．．是什么角．．．．．．．的平分线交于点．．．、∠．．．MAB．．NBA（．2．）过点．．于．点．C．．观察线段．．BN．．．．．．．．．．．．．．．．．．．DE．．、．CE．．，有什么发现请证明你的猜想．．．D．，交．．．．．．AM．．．E．任作一线段交．．于点（．3．）试猜想．．，．BC．．与．AB．．有什么数量关系．．．．．．．．．．．AD图．7．－．10．．#．24．．．已知：如图．．．°，．BE．．平分∠．．A．＝．100．．．B．交．AC．．于．E．．．．．．．．．7．－．11．．，Δ．．ABC．．．中，．．AB．．＝．AC．．，∠（．1．）求证：．．．．BC．．＝．AE．．＋．BE．．；．（．2．）探究：若∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．BC．．等于哪两条线段长的和呢试证明之．．．．°，那么．．．．．．A．＝．10825．．．已知：如图．．．都是等边三角形．．．．．．．．．．．BDE．．．．．．8．－．4．，Δ．．ABC．．．和Δ（．1．）求证：．．．．AD．．＝．CE．．；．（．2．）当．．．．．．．．．．．．．AB．．与．BE．．的数量关系．．．AC．．⊥．CE．．时，判断并证明/．图．8．－．4．26．．．如图．．．CD．．＝．CE．．，连接．．．DE．．并延长至点．．．．BC．．、．AC．．上，且．．EF．．．．．．．F．，使．．．Δ．ABC．．．8．－．5．，已知．．．是等边三角形，．．．．．．．D．、．E．分别在边＝．AE．．，连接．．．AF．．、．BE．．和．CF．．．．（．1．）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（．2．）求证：．．．．AF．．＝．BD．．．．…．图．8．－．5．27．．．已知：如图．．BAD．．．＝．30．．°，∠．．．，∠．．CD．．的．．．B．＝．90．．°．求．．．．．．8．－．6．，四边形．．．．ABCD．．．，．CD．．∥．AB．．，．BC．．＝．6cm．．．．中，．．．BAD．．AC．．平分∠长．______．．．．．．．．图．8．－．6．《．28．．．（．．．．．AD．．的同侧作等边三角形．．为边在线段．．．．．．．．．OAB．．．．．．和．DO．．．和等边三．．1．）如图．．．8．－．7．，点．．O．是线段．．．AD．．的中点，分别以．．．．．．．AO角形．．．AEB．．．的大小；．．．BC．．，求∠．．．．．．OCD．．．．．E．，连接．．．，连接．．．AC．．和．BD．．，相交于点图．8．－．7．（．2．）如图．．．．OAB．．．O．旋转（△．．．和△．．OCD．．．．．．绕着点．．．8．－．8．，△．．OAB．．．．．．．．．．．OCD．．．固定不动，保持△．．．．．．．．OCD．．．的形状和大小不变，将△不能重叠），求∠．．．的大小．．．．．．．．．．．．．AEB?．图．8．－．8．29．．．已知：如图．．AE．．＝．BD．．，连接．．．CE．．、．DE．．．．．．．BA．．到．E．，使．．ABC．．．．．．．．．BC．．到．D．，延长．．．．．．8．－．9．，△．．．为等边三角形，延长求证：．．．CE．．＝．DE．．.．图．8．－．9．；．30．．．已知：如图．．B．＝．90．．°，∠．．C．＝．60．．°，．CD．．＝．2．AD．．，．AB．．＝．4．．．．．．A．＝∠．．．．．．8．－．10．．，四边形．．．．ABCD．．．．中，∠（．1．）．在．AB．．边上求作点．．．．．PC．．＋．PD．．最小；．．．．．P．，使图．8．－．10．．？．（．2．）求出（．．．．1．）中．．PC ．．＋．PD ．．的最小值．．．．．．31.如图,△ABC 中,边AB 、BC 的垂直平分线交于点O, (1)求证:PA=PB=PC.(2)点P 是否也在边AC 的垂直平分线上由此你还能得出什么结论%32、.如图:△ABC 和△ADE 是等边三角形.证明：BD=CE.{33、如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O.给出下列四个条件：①∠EBD=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD ；④OB ＝OC.（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形.AB CDE…34．如图，P 在∠AOB 内；点M ，N 分别是点P 关于AO ，BO 的对称点，且与AO 、BO 相交点E 、F ，若∆PEF 的周长为15，求MN 的长.N POM F E B A：35．如图（5）所示，在△ABC 中，∠C=90°，DE 垂直平分AB ，交AB 于E ，交 BC 于D ，∠1=21∠2，求∠B 的度数。