27.2.1 相似三角形的判定（2）
---三边成比例的两个三角形相似
相等 1. 对应角_______, 对应边 的比相等 的两个三角形,
叫做相似三角形 .
对应角相等 , 各对应边 的比相等 2.相似三角形的___________________ 3.如何识别两三角形是否相似? 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线） 相交，所构成的三角形与原三角形相似.
.
A
D
D
B
∵DE∥BC， E ∴△ADE∽△ABC.
C B
A
E ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB. C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
反馈练习
3．如图，DE∥BC，判断下列各式是否正确：
A. B. C. D.
AD AE （ AB AC AD AE （ BD CE AD AE （ AC AB AD AB （ AE AC
答案:相似. 相似比为2﹕1.
要作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边 的长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，怎
样选料可使这两个三角形相似? 这个问题有其他答案吗?
设其他两边分别为x,y
4 5
①4:2=5:x=6:y
②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2 ④4:y=5:x=6:2 ⑤4:2=5:y=6:x
(2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．
P5
A
P3
P2
F
P4 C E
△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D， △P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．
3.（成都·中考）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC 相交于点K，E是线段AD上一动点. (1)若BK= 5 KC，求 CD 的值.
【例题】
例 在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝ 8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′ ＝30cm．证明△ABC与△A′B′C′相似． 证明：∵ AB 6 1 ,
AB 18 3
∴
BC 8 1 , BC 24 3
AC 10 1 , AC 30 3
△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由. (2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在 这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形 与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连
接相应线段，不必说明理由)．
∴ DE BC , A1E AC
∴ A1DE≌ABC（SSS） ∵ A1DE∽A 1B 1C1 ∴ ABC∽A1B1C1
知识要点
三角形相似判定定理之一 如果两个三角形的三组对应边的比 相等，那么这两个三角形相似。简称：
三边对应成比例，两三角形相似。 A
A1 即：
C
B
B1
C1
AB BC AC 如果 A B B C A C , 1 1 1 1 1 1 那么 △ABC∽△A1B1C1.
） ） ）
A
D
） B
E
C
相似具有传递性
C E M A N D B
如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？ △ADE∽△ABC △AMN∽△ADE △AMN∽△ABC
共有三对相似三角形。
A 三边成比例 A′
B
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
C
B′
C′
是否有△ABC∽△A′B′C′？
AB BC AC 解析 ： ∵ = = ， AD DE AE
∴ΔABC∽ΔADE，
∴∠BAC=∠DAE， B
A
E
D C
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， 即∠BAD=∠CAE.
如图在正方形网格上有 A 1 B1C1和 A2 B2 C 2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由 .
A1
A
D
B C
E
B1
C1
证明：在线段 A1B1 （或它的延长线）上截取 A1D AB ， 过点D作 DE∥B1C1 ，交 AC 于点E根据前面的定理可得 1 1
A1DE∽A1B1C1
.
A1 A
D
B C B1
EC1A1Fra bibliotek DE A1E ∴ A1B1 B1C1 A1C1
AB BC AC , A1D AB 又 A1B1 B1C1 A1C1 DE BC A1E AC , ∴ B1C1 B1C1 A1C1 A1C1
AB BC AC , AB BC AC
∴△ABC∽△A′B′C′.
小练习
已知：
解：∵
求证：∠BAD=∠CAE。 A E
D ∴ΔABC∽ΔADE C B ∴∠BAC=∠DAE ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC 即∠BAD=∠CAE
【跟踪训练】
如图,已知: AB BC AC ，试说明∠BAD=∠CAE. AD DE AE
A
B P1 P2 P3 P4 C E
D P5
F
【解析】(1)△ABC和△DEF相似．根据勾股定理， 得 AB 2 5 ， DF 2 2 ， AC 5 ，BC=5；DE 4 2 ， EF 2 10 . ∵ AB AC BC
DE DF EF
B P1
5 2 2
，∴
D
△ABC∽△DEF．
2
BA
BK
2 5
.
（ 2 ）如图所示，分别过 C,D 作CF∥DG∥BE分别交 AB的延长线于F,G两点， ∵BE∥DG，点E是AD中点，∴AB=BG；∵CD∥FG， CF∥DG，∴四边形CDGF是平行四边形，∴CD=FG.
∵∠ABE=∠EBC，BE∥CF,∴∠EBC=∠BCF，
∠ABE=∠BFC，∴∠BFC=∠BCF,∴BC=BF， ∴AB-CD=BG-FG=BF=BC，∴AB=BC+CD. 1 当AE= AD(n>2)时，(n-1)AB=BC+CD. n
2 6
1.（泰州·中考）一个铝质三角形框架三条边长分别 为24cm，30cm，36cm，要做一个与它相似的铝质三角形 框架，现有长为27cm，45cm的两根铝材，要求以其中的 一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为
另外两边．截法有（
A.0种 B. 1种
B ） C. 2种 D. 3种
2.（衢州·中考）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，
2
(2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=
BA
1 AD时，猜想线 2
段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的 结论并予以证明．再探究：当AE= 1 AD (n>2)，而其余
n
条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等 量关系?请直接写出你的结论，不必证明．
【解析】(1)∵AB∥CD，BK= 5 KC，∴ CD = CK =