习题四1 1．设随机变量X 的分布律为2X-10 1 2k p0.1 0.2 0.3p求p ，)(X E ，)12(-X E .3 答案：4.0=p ，1)(=X E ，1)12(=-X E ；42.设随机变量X 的分布律为5 X -1 0 1p1p 2p 3p且已知1.0)(=X E ,9.0)(2=X E ,求1p ，2p ，3p .6 【解】因1231P P P ++=……①,7又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,8222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③9 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===10 3.设随机变量X 的概率密度为11=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其它x x x x12求)(X E ，)(X D .13 【解】12201()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰1421332011 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦15 122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ 16故 221()()[()].6D X E X E X =-=17 4.设随机变量X 的概率密度为18⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-.0,0,0,e )(22x x cx x f xk19求(1)c ；（2）)(X E ；（3）)(X D .20 【解】(1) 由2220()d e d 12k x c f x x cx x k+∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =. 21(2) 2220()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞+∞--∞==⎰⎰2222220π2e d .k x k x x +∞-==⎰23(3) 22222221()()d()2e .kxE X x f x x x k x k +∞+∞--∞==⎰⎰24故222221π4π()()[()].24D X E X E X k k k⎛-=-=-= ⎝⎭ 255. 过单位圆上一点P 作任意弦PA ，PA 与直径PB 的夹角θ服从区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ上的均匀26 分布，求弦PA 的长度的数学期望.27 解：弦PA 的长为随机变量X ，由任意θ的密度函数为28πθπθθθθπθππθππ41cos 2)cos 2(cos 2cos ,022,1)(22======⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰-d E EX PB X PA p 故其他296．设X 服从柯西分布，其密度函数为30 +∞<<-∞+=x x x f ,)1(1)(2π 31 问)(X E 是否存在？ 32 解：因为33 ∞=+⎰+∞∞-dx xx2111π 34 所以EX 不存在。

35 7.一汽车需要通过三个设置红绿灯路口的一段路，每个路口出现什么信号灯是相互独立36 的，且红绿两种信号显示时间相同，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已经通过路口的个数，37 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+X E 11.38答案：966739 8．设随机变量X 服从区间⎪⎭⎫⎝⎛-21,21上的均匀分布，求)sin(X Y π=的数学期望与方差.40解：⎰-==2121,0sin xdx EY π41⎰-===2121222/1sin xdx EY DY π。

429.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，其概率密度为43 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 41)(4x x xf x44为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，45 工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.46 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和200元47 /41/411{100}{1}e d e 4x P Y P X x +∞--==≥==⎰48 1/4{200}{1}1e .P Y P X -=-=<=-49故1/41/41/4()100e (200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).50 10.设随机变量Z Y X ,,相互独立，且,5)(=X E ,11)(=Y E ,8)(=Z E 求下列随机变量的数学51 期望.52 （1）132-+=Y X U ；（2）X YZ V 4-=. 53 【解】(1) 42)(=U E ；(2) 68)(=V E5411.设随机变量),(Y X 的概率密度为55 ⎩⎨⎧<<<=.,0,10,),(其它x y k y x f 56试确定常数k ，并求)(XY E .57 【解】因1001(,)d d d d 1,2xf x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k=2581()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.5912.设Y X ,是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为60 =)(x f X ⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其它x x =)(y f Y ⎩⎨⎧>--.,0,5,)5(其它y e y 61求)(XY E .62 【解】先求X 与Y 的均值63 102()2d ,3E X x x x ==⎰64 5(5)5()ed 5e d e d 51 6.z y y zz E Y y yz z z +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令65 由X 与Y 的独立性，得66 2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯=67 13.袋中装有12个灯泡，其中9个好灯泡，3个坏了的灯泡.电工在更换某个灯泡时，68 从袋中一个一个地69 取出（取出后不放回），设在取出好灯泡之前已取出的灯泡数为随机变量X ，求)(X E 和70 )(X D .71 【解】其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 72 9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 73329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯= 74 于是，得到X 的概率分布表如下：75由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=7622222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=77 14.设随机变量X 的概率密度为78 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,π0,2cos 21)(其它x x x f 79对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望. 80 【解】令 π1,,3(1,2,3,4)π0,3i X Y i ⎧>⎪⎪==⎨⎪≤⎪⎩X .81 则41~(4,)i i Y Y B p ==∑.因为82ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11{}cos d 3222x P X x ≤==⎰, 83所以111(),(),()42,242i i E Y D Y E Y ===⨯=842211()41()()22D YE Y EY =⨯⨯==-,85从而222()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+=8615.设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，对于任意x ，求函数])[()(2x X E x f -=的最小87 值，并说明其意义.88 解：222)(2)(])[()(x X xE X E x X E x f +-=-= 89)(22)(X E x dxx df -=， 90当0)(22)(=-=X E x dxx df 时，有唯一驻点)(X E x =， 91 又02)(22>=dx x f d ，所以在)(X E x =时，取极小值，也是最小值： 92DX X E X E X E f =-=]))([()]([293 这说明随机变量对其数学期望的偏离程度，比它对其他任意数偏离程度都小，最小值为94 其方差。

95 16.设随机变量U 服从区间[2,2]-上的均匀分布，随机变量96X =⎩⎨⎧->-≤-，U ，U 1,11,1若若 Y =⎩⎨⎧>≤-.1,11,1U ，U 若若 97试求)(Y X D +.98【解】因22()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,而X+Y 及（X+Y ）2的概率分布相应为99 202~111424X Y -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦, 204()~1122X Y ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 100从而11()(2)20,44E X Y +=-⨯+⨯=101211[()]042,22E X Y +=⨯+⨯=102所以22()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+= 103 17.对随机变量X和Y，已知1),cov(,3)(,2)(===Y X Y D X D ，求104 )34,123(-++-Y X Y X Cov .105【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+-106 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=-107 18.设二维随机变量),(Y X 在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从108 均匀分布，求),cov(Y X 109 及相关系数. 110 【解】如图，S D =12，故（X ，Y ）的概率密度为 111112 2,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他. 113()(,)d d DE X xf x y x y =⎰⎰11001d 2d 3xx x y -==⎰⎰11422()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰112001d 2d 6xx x y -==⎰⎰115从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭116同理11(),().318E Y D Y ==117而 11001()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰118所以119 1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-. 120从而 112)()XY D Y ρ-===-12119.设随机变量X 的概率密度为122 +∞<<-∞=-x e x f x ,21)(||.123(1) 求)(X E 及)(X D ；124 （2） 求),cov(X X ,并问X 与X 是否不相关？125 （3） 问X 与X 是否相互独立，为什么？126 【解】(1)||1()e d 0.2x E X xx +∞--∞==⎰1272||201()(0)e d 0e d 2.2x x D X x x x x +∞+∞---∞=-==⎰⎰ 128(2) Cov(,|)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-=129 ||1||e d 0,2x x x x +∞--∞==⎰130所以X 与|X|互不相关.131 (3) 为判断|X|与X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定132 义域∞<x <+∞中的子区间（0,+∞）上给出任意点x 0，则有133 0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=<⊂<134所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<< 135 故由136 00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><<137 得出X 与|X|不相互独立.138 20.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布)3,1(2N 和)4,1(2N ，且X 与Y 的相关系数139 5.0=XY ρ,14023Y X Z +=. 141（1） 求)(),(Z D Z E ；142 （2） 求X 与Z 的相关系数XZ ρ,并判断X 与Z 是否相互独立.143【解】(1) 1().323X Y E Z E ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭144()2Cov ,3232XY X Y D Z D D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭145 11119162Cov(,),9432X Y =⨯+⨯+⨯⨯146 而14711 1Cov(,))()3462XY X Y D Y ρ⎛⎫==-⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 148 所以 1()146 3.3D Z =+-⨯= 149 (2) 因()()11Cov(,)Cov ,Cov ,Cov ,3232X Y X Z X X X X Y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 150119()(6)3=0,323D X =+⨯-=- 151 所以 0.)()XZ D Z ρ== 152 由0XZ ρ==，得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9)3Z N X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 与Z 也相互独立. 153 21.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数.试求X 154和Y 的相关系数 155XY ρ. 156【解】由条件知X+Y=n ，则有D （X+Y ）=D （n ）=0. 157再由X~B(n,p),Y~B(n,q)，且p=q=12, 158 从而有 ()()4n D X npq D Y === 159 所以 0()()()2)()XY D X Y D X D Y D Y ρ=+=++ 1602,24XY n n ρ=+ 故XY ρ=-1. 161162。