第二章 函数与导数第6课时 二 次 函 数第三章 (对应学生用书(文)、(理)18～19页),1. (必修1P 54测试7)函数f(x)＝x 2＋2x －3，x ∈[0，2]的值域为________． 答案：[－3，5]解析：由f(x)＝(x ＋1)2－4，知f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(x)的值域是[－3，5]．2. 二次函数y ＝－x 2＋2mx －m 2＋3的图象的对称轴为x ＋2＝0，则m ＝________，顶点坐标为________，递增区间为________，递减区间为________．答案：－2 (－2，3) (－∞，－2] [－2，＋∞)3. (必修1P 45习题8改编)函数f(x)＝(x ＋1)(x －a)是偶函数，则f(2)＝________． 答案：3解析：由f(－x)＝f(x)，得a ＝1，∴ f(2)＝3.4. (必修1P 44习题3)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞），－x 2＋2x －1，x ∈（－∞，0）的单调增区间是________．答案：R解析：画出函数f(x)的图象可知．5. 设abc>0，二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)答案：④解析：若a>0，则b 、c 同号，③④两图中c<0，则b<0，所以－b2a >0，④正确；若a<0，则b 、c 异号，①中c<0，则b>0，－b 2a >0，不符合，②中c>0，则b<0，－b2a<0，不符合．1. 二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．(2) 顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h ，k)，则其解析式f(x)＝a(x －h)2＋k(a≠0)． (3) 零点式(两根式)：若二次函数的图象与x 轴的交点为(x 1，0)，(x 2，0)，则其解析式f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)．2. 二次函数的图象及性质二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x ＝－b 2a，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a ． (1) 当a>0，函数图象开口向上，函数在区间(－∞，－b 2a ]上是单调减函数，在[－b2a ，＋∞)上是单调增函数，当x ＝－b 2a 时，y 有最小值，y min ＝4ac －b24a．(2) 当a<0，函数图象开口向下，函数在区间[－b2a ，＋∞)上是单调减函数，在(－∞，－b 2a ]上是单调增函数，当x ＝－b 2a 时，y 有最大值，y max ＝4ac －b 24a． 3. 二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，当Δ＝b 2－4ac>0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1，0)，M 2(x 2，0)，则M 1M 2|a|题型1 求二次函数解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，求二次函数f(x)的解析式．解：(解法1：利用一般式)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴ 所求二次函数为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.(解法2：利用顶点式)设f(x)＝a(x －m)2＋n ，∵ f(2)＝f(－1)，∴ 抛物线对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，即m ＝12；又根据题意，函数最大值y max ＝8，∴ n ＝8，∴ f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵ f(2)＝－1，∴ a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4.∴ f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.(解法3：利用两根式)由题意知f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1)，即f(x)＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即 4a （－2a －1）－a 24a ＝8，解得a ＝－4或a ＝0(舍)，∴ 所求函数的解析式为f(x)＝－4x 2－(－4)x －2×(－4)－1＝－4x 2＋4x ＋7.备选变式（教师专享）已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点为(－1，10)，且方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根的平方和为12，求二次函数f(x)的表达式．解：由题意可设f(x)＝a(x ＋1)2＋10，即f(x)＝ax 2＋2ax ＋a ＋10；∴ b＝2a ，c ＝a ＋10，设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2，则x 21 ＋x 22 ＝12，即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－2×c a ＝12. 又b ＝2a ，c ＝a ＋10，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a a 2－2×a ＋10a ＝12，解得a ＝－2， ∴f(x)＝－2x 2－4x ＋8.题型2 含参变量二次函数的最值例2 函数f(x)＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上最小值记为g(a)． (1) 求g(a)的函数表达式； (2) 求g(a)的最大值．解：(1) ①当a<－2时，函数f(x)的对称轴x ＝a2<－1，则g(a)＝f(－1)＝2a ＋5；②当－2≤a≤2时，函数f(x)的对称轴x ＝a 2∈[－1，1]，则g(a)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝3－a 22；③当a>2时，函数f(x)的对称轴x ＝a2>1，则g(a)＝f(1) ＝5－2a.综上所述，g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋5（a<－2），3－a22（－2≤a≤2），5－2a （a>2）.(2) ①当a<－2时，g(a)<1；②当－2≤a≤2时，g(a)∈[1，3]；③当a>2时，g(a)<1. 由①②③可得g(a)max ＝3. 备选变式（教师专享）求二次函数f(x) ＝ x 2－4x － 1在区间[t ，t ＋2]上的最小值g(t)，其中t∈R .解：函数f(x) ＝ (x －2)2－5的图象的对称轴方程为x ＝2，开口向上． 当2∈[t，t ＋2]，即t≤2≤t＋2，也就是0≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－5；当2 [t ，t ＋2]时，①当t ＞2时，f(x)在[t ，t ＋2]上为增函数，故g(t)＝f(t)＝t 2－4t －1.②当t ＋2＜2，即t ＜0时，f(x)在[t ，t ＋2]上为减函数，故g(t)＝f(t ＋2)＝(t＋2)2－4(t ＋2)－1＝t 2－5.故g(t)的解析式为g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－4t －1，t ＞2，－5，0≤t ≤2，t 2－5，t ＜0.题型3 二次函数的综合应用 例3 已知函数g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b(a≠0，b<1)，在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)＝g （x ）x.(1) 求a 、b 的值及函数f(x)的解析式；(2) 若不等式f(2x )－k·2x≥0在x∈[－1，1]时有解，求实数k 的取值范围．解：(1) g(x)＝ax 2－2ax ＋1＋b ，由题意得 ① ⎩⎪⎨⎪⎧a>0，g （2）＝1＋b ＝1，g （3）＝3a ＋b ＋1＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，② ⎩⎪⎨⎪⎧a<0，g （2）＝1＋b ＝4，g （3）＝3a ＋b ＋1＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3>1(舍)．∴ a ＝1，b ＝0，g(x)＝x 2－2x ＋1，f(x)＝x ＋1x －2.(2) 不等式f(2x )－k·2x ≥0，即2x ＋12x －2≥k·2x，∴ k ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1. 设t ＝12x ，则k≤t 2－2t ＋1，∵ x ∈[－1，1]，故t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 记h(t)＝t 2－2t ＋1，∵ t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴ h(t)max ＝1，故所求k 的取值范围是(－∞，1]． 变式训练已知函数f(x)＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称．(1) 求f(x)与g(x)的解析式；(2) 若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解：(1) 因为函数f(x)满足f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，所以图象关于x ＝－1对称，即－m2＝－1，即m ＝2.又f(1)＝1＋m ＋n ＝3，所以n ＝0，所以f(x)＝x 2＋2x. 又y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称，所以－g(x)＝(－x)2＋2(－x)，所以g(x)＝－x 2＋2x.(2) 由(1)知，F(x)＝(－x 2＋2x)－λ(x 2＋2x)＝－(λ＋1)x 2＋(2－2λ)x. 当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x ＝2－2λ2（λ＋1）＝1－λλ＋1，因为F(x)在(－1，1]上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ<0，1－λλ＋1≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ>0，1－λλ＋1≥1，所以λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x 显然成立． 综上所述，实数λ的取值范围是(－∞，0]．1. 若函数f(x)＝ax 2－3x ＋4在区间(－∞，6)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案：0≤a≤14解析：当a ＝0时，f(x)＝－3x ＋4，符合；当a≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，32a ≥6，解得0<a≤14.综上，实数a 的取值范围是0≤a ≤14.2. 已知函数f(x)＝x 2－3x ＋m ，g(x)＝2x 2－4x ，若f(x)≥g(x)恰在x∈[－1，2]上成立，则实数m 的值为________．答案：2解析：由题意，x 2－3x ＋m≥2x 2－4x ，即x 2－x －m≤0的解集是[－1，2]，所以m ＝2.3. (2013·南通三模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－2x －1，x ≥0，x 2＋bx ＋c ，x ＜0是偶函数，直线y ＝t 与函数y ＝f(x)的图象自左向右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D.若AB ＝BC ，则实数t 的值为________．答案：－74解析：根据偶函数的定义得a ＝1，b ＝2，c ＝－1，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x ＜0，⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝3x C ，x C ＋x D ＝2，所以x C ＝12，则t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×12－1＝－74. 4. (2013·新课标)若函数f(x)＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b)的图象关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为________．答案：16解析：因为点(1，0)，(－1，0)在f(x)的图象上，且图象关于直线x ＝－2对称，所以点(－5，0)，(－3，0)必在f(x)的图象上，所以f(－5)＝(1－25)(25－5a ＋b)＝0，f(－3)＝(1－9)(9－3a ＋b)＝0，联立，解得a ＝8，b ＝15，所以f(x)＝(1－x 2)(x 2＋8x ＋15)，即f(x)＝－(x ＋1)(x －1)(x ＋3)(x ＋5)＝－(x 2＋4x ＋3)(x 2＋4x －5)．令t ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4≥－4，则f(x)＝－(t ＋3)(t －5)＝－(t －1)2＋16，当t ＝1时，f(x)max ＝16.1. 已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为________．答案：(2－2，2＋2)解析：易知，f(a)＝e a －1>－1，由f(a)＝g(b)，得g(b)＝－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b<2＋ 2.2. 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a 、b∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．答案：9解析：根据函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，得到a 2－4b ＝0.又关于x 的不等式f(x)<c ，可化为x 2＋ax ＋b －c<0，它的解集为(m ，m ＋6)，设函数f(x)＝x 2＋ax ＋b －c的图象与x 轴的交点的横坐标分别为x 1、x 2，则|x 2－x 1|＝m ＋6－m ＝6，从而(x 2－x 1)2＝36，即(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36.又x 1x 2＝b －c ，x 1＋x 2＝－a ，代入得到 c ＝9.3. 设函数f(x)＝x 2－1，对任意x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：由题意知x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x－1)2－1＋4(m 2－1)在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m≤－32或m≥32.4. 已知函数f(x)＝mx ＋3，g(x)＝x 2＋2x ＋m. (1) 求证：函数f(x)－g(x)必有零点；(2) 设函数G(x)＝f(x)－g(x)－1，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，求实数m 的取值范围．(1) 证明：f(x)－g(x)＝(mx ＋3)－(x 2＋2x ＋m)＝－x 2＋(m －2)x ＋(3－m)．由Δ1＝(m －2)2＋4(3－m)＝m 2－8m ＋16＝(m －4)2≥0，知函数f(x)－g(x)必有零点．(2) 解：|G(x)|＝|－x 2＋(m －2)x ＋(2－m)|＝|x 2－(m －2)x ＋(m －2)|，Δ2＝(m －2)2－4(m －2)＝(m －2)(m －6)， ① 当Δ2≤0，即2≤m≤6时，|G(x)|＝x 2－(m －2)x ＋(m －2)，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则m －22≥0，即m≥2，所以2≤m≤6时，符合条件．② 当Δ2＞0，即m ＜2或m ＞6时，若m ＜2，则m －22＜0，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则m －22≤－1且G(0)≤0，所以m≤0；若m ＞6，则m －22＞2，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则G(0)≥0，所以m ＞6.综上，m ≤0或m≥2.1. 二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称轴、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．2. 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，需要按照“三点一轴”来分类讨论(三点即区间的端点和中点，一轴即对称轴)，此类问题是考查的重点．3. 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．请使用课时训练（A ）第6课时（见活页）.[备课札记]。