数列求和课件
2n-1+22n-3+„+2)+2=22(n+1)-1.4分
1)+„+(a2-a1)]+a1=3(2
而a1=2,符合上式,所以数列{an}的通项公式为an=22n-1.6分
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第五章
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(2)由 bn=nan=n·2n-1 知 2 Sn=1· 2+2·3+3·5+„+n·2n 1, ①8 分 2 2 2 从而 22·n=1·3+2·5+3·7+„+n·2n 1.② 9 分 S 2 2 2 2 ①-②得(1-22)Sn=2+23+25+„+22n 1-n·2n 1,10 分 2 1 + 即 Sn= [(3n-1)22n 1+2].12 分 9
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数列{an}中a1=3,已知点(an,an+1)在直线y=x+2上,
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an·n,求数列{bn}的前n项和Tn. 3 解析: (1)∵点(an,an+1)在直线y=x+2上, ∴an+1=an+2,即an+1-an=2. ∴数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列, ∴an=3+2(n-1)=2n+1.
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(本小题满分12分)(2010· 全国新课标卷)设数列{an}满足a1=2,an
22n-1. +1-an=3· (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn. 【规范解答】 (1)由已知,当n≥1时,an+1=[(an+1-an)+(an-an-
1 =2n-2+ n-1. 2
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1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列
{an·n}的前n项和时,可采用错位相减法. b 2.用乘公比错位相减法求和时,应注意 (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错位项对 齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
答案: B
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4.已知数列{an}的通项an=-5n+2,则其前n项和Sn=______.
解析: Sn=a1+a2+a3+„+an =-5(1+2+3+„+n)+2n -5nn+1 = +2n 2 -5n2-n = . 2
-5n2-n 答案: 2
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1 1 1 5.数列 1,42,74,108,„前 10 项的和为________.
成立.
1 1 1 1 , 解析: (1)∵an= = =2 - 1+2+3+„+n nn+1 n n+1 2 1 1 1 1 1 1- +2 - +„+2 - ∴Sn=2 n n+1 2 2 3 1 2n Sn 2 = =21- ,∴bn= = (n∈N+). n+1 n+1 n n+1
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1 1 2 2 4 - (2)证明:Cn=bn·n+1= b · = =4n+1 n+2 , n+1 n+2 n+1n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - =4 - <4× =2, ∴Tn=42-3+43-4+„+4 2 n+1 n+2 2 n+2
当n=4时,24-12-1=3>0,
∴2n-3n-1<0中n的最大值为3.
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(2)Sn=a1+a2+„+an =(2+22+„+2n)-3(1+2+3+„+n)-n 21-2n nn+1 = -3· 2 -n 1-2 =2
n+1
n3n+5 - -2. 2
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+1
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1 1 数列通项形如 an= ,bn= 等可用此法.使 nn-1 2n-1+ 2n+1 用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项;你是 否注意到由于数列{an}中每一项 an 均裂成一正一负两项,所以互为相反 数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可 漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点.实质上,正负项 相消是此法的根源和目的.
对通项变形,转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之.
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已知函数f(x)=2x-3x-1,点(n,an)在f(x)的图象上,an的前n项
和为Sn. (1)求使an<0的n的最大值. (2)求Sn. 解析: (1)依题意an=2n-3n-1, ∴an<0即2n-3n-1<0. 当n=3时,23-9-1=-2<0.
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3 3 由①②得 a1=5,d=5, 3 3 3 ∴an=5+(n-1)×5=5n(n∈N+). n2+n+1 25 n2+n+1 (2)bn=3 3 =9· nn+1 n·n+1 5 5 1 25 1 , = 1+n- 9 n+1 ∴b1+b2+b3+„+b99 1 1 1 1 1 1 1 25 = 9 1+1-2+1+2-3+1+3-4+„+1+99-100 1 25 = 99+1-100 9 =275+2.75=277.75.
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等差数列{an}是递增数列,前 n 项和为 Sn,且 a1,a3,a9 成等比 数列,S5=a52. (1)求数列{an}的通项公式; n2+n+1 (2)若数列{bn}满足 bn= ,求数列{bn}的前 99 项的和. an·n+1 a
解析: (1)设数列{an}的公差为 d(d>0), ∵a1,a3,a9 成等比数列,∴a32=a1a9, ∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),∴d2=a1d, ∵d>0,∴a1=d,① 5×4 ∵S5=a52,∴5a1+ · d=(a1+4d)2② 2
第4课时
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求数列的前 n 项和的方法 1.公式法 (1)等差数列的前 n 项和公式 na1+an nn-1 na1+ d S n= = 2 2 (2)等比数列前 n 项和公式 ①当 q=1 时,Sn=na1; a11-qn a1-anq ②当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q
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1.数列{(-1)n· n}的前2 010项的和S2 010为(
A.-2 010 C.2 010 B.-1 005 D.1 005
)
解析: S2 010=-1+2-3+4-5+„-2 009+2 010=(-1+2)+ (-3+4)+„+(-2 009+2 010)=1 005. 答案: D
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(2)∵bn=an·n,∴bn=(2n+1)·n, 3 3 ∴Tn=3×3+5×32+7×33+„+(2n-1)·n-1+(2n+1)·n,① 3 3 ∴3Tn=3×32+5×33+„+(2n-1)·n+(2n+1)·n+1,② 3 3 由①-②得 -2Tn=3×3+2(32+33+„+3n)-(2n+1)·n 3 91-3n 1 + =9+2× -(2n+1)·n 1 3 1-3
即 Tn<2 对任意 n∈N+成立.
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数列求和的方法
(1)一般的数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后
通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形 式,从而选择合适的方法求和. (2)数列求和的常见类型及方法 ①an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求解; ②an=a·n-1,利用等比数列前n项和公式直接求解,但要注意对q q 分q=1与q≠1两种情况进行讨论;
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【变式训练】
1 1 1 1+ + +„+ n-1 2 4 2
1 1 1 1. 求 和 Sn = 1 + 1+2 + 1+2+4 + „ +
解析: 和式中的第 k 项为: 1 1 1 ak=1+2+4+„+ k-1= 2
1k 1-2 1 =21-2k. 1 1- 2
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1 3.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= ,则 S5 等于( nn+1 A.1 5 B. 6 1 C. 6 1 D. 30
)
n+1-n 1 1 1 解析: an= = = - nn+1 nn+1 n n+1 ∴S5=a1+a2+a3+a4+a5 1 1 1 1 1 5 =1-2+2-3+„+5-6=6.
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③an=bn+cn,数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,采用分组转 化法求{an}前n项和; ④an =bn·n ,{bn}是等差数列,{cn}是等比数列,采用错位相减法 c 求{an}前n项和;
⑤an=f(n)-f(n-1),采用裂项相消法求{an}前n项和;
⑥an-k+ak=cbn,可考虑倒序相加法求和;
.
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2.分组转化法
把数列的每一项分成两项,使其转化为几个等差、等比数列,再求
解.
3.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. 4.倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的 推广).
5.错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求 和,即等比数列求和公式的推导过程的推广.
- +1
∴Tn=n·n 1. 3
+
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【变式训练】 2.已知数列{an}满足:Sn=1-an(n∈N+),其中 Sn 为 数列{an}的前 n 项和. (1)试求{an}的通项公式; n (2)若数列{bn}满足:bn=a (n∈N+),试求{bn}的前 n 项和公式 Tn. n