( 1 ) 求{an}的通项 公式;
(2)求数列{ an }的前 n 项和. 2n
解:(1)方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3,由题意得 a2=2,a4=3. 设数列{an}的公差为 d,则 a4-a2=2d,故 d= 1 ,
2 所以{an}的通项公式为 an= 1 n + 1.
2
1.错位相减法的关注点 (1)适用题型:等差数列{an}乘以等比数列{bn}对应项({an·bn})” 型数列求和. (2)步骤: ①求和时先乘以数列{bn}的公比. ②把两个和的形式错位相减. ③整理结果形式.
知识梳理
数列求和的方法技巧 (1)错位相减法
这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方 法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别 是等差数列和等比数列.
热点一 错位相减法求和
【例 1】 (2014 高考新课标全国卷Ⅰ)已知{an}是递增的等差数 列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根.
练习3．(2012·全国大纲卷改编) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，
若数列
{ 1 } 的前n项和为
an .an1
Tn
求证： Tn
1
思考题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，
若数列
1 {}
an2
的前n项和为 Tn 求证： Tn 2
归纳小结
1．错位相减法适用于数列是由一个等差数列和一 个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，乘以等 比数列的公比再错位相减。
专题四 数列第Biblioteka 2讲 数列求和数学小故事：
要是一个月后这对小兔子长成大兔子。再过一 个月，这对大兔子生下一对小兔子，以后，每 对大兔子每月都生一对小兔子，小兔子一个月 后长成大兔子。（单位：对）
月份
1月后 2月后 3月后 4月后 5月后 6月后
7月后 8月后
9月后
兔子数 （对）
12
35
8 13
21 34 55
(2)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相 加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和.这种方 法，适用于求通项为 ana1n＋1的数列的前n项和，其中{an} 若为等差数列，则 ana1n＋1＝1da1n－an1＋1.
常见的裂项公式： ①nn1＋1＝n1－n＋1 1； ②nn1＋k＝1k(n1－n＋1 k)； ③2n－112n＋1＝12(2n1－1－2n1＋1)； ④ n＋1 n＋k＝1k( n＋k－ n).
1.裂项相消法适合于形如{
1 an·an＋k
}形式的数列，
其中{an}为等差数列.
2.裂项后相消的规律 (1)裂项系数取决于前后两项分母的差. (2)裂项相消后前、后保留的项数一样多.
练习 2．(2012·全国大纲卷)已知等差数列{an}的前 n 项和
为 Sn，a5＝5，S5＝15，则数列an·1an＋1的前 100 项和为(
)
A.110001
B.19091
C.19090
D.110010
解析 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d. ∵a5＝5，S5＝15，
a1＋4d＝5， ∴5a1＋5×2 4d＝15
⇒ad1＝＝11， ⇒an＝n.
∴1＝ anan＋1 n
1 n＋
1＝n1－n＋1 1，
S100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1011＝1－1011＝110001.
练习 1.[2014·江西卷改编] 已知数列 {an}的通项公式是 an＝(2n－1)3n－1，则 数列{an}的前 n 项和 ＝________．
Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，
3Sn＝
1×31＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，
将两式相减得
－2Sn＝1＋2(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n ＝－2－(2n－2)3n， 所以 Sn＝(n－1)3n＋1.
2．裂项相消的基本思想是把数列的通项an分拆成 an＝bn＋1－bn或者an＝bn－bn＋1或者an＝bn＋2－bn等， 从而达到在求和时逐项相消的目的。
作业：快乐考生第15套 第17题
热点二 裂项相消法求和
例 2.[2014·全国卷改编] 已知
an＝13－3n，则数列ana1n＋1
的
前 n 项和 Tn=________．
[解析] 易知 ana1n＋1＝1310－ 1 3n－13－ 1 3n， 所以 Tn＝1317－110＋14－17＋…＋10－ 1 3n－13－ 1 3n＝
1310－ 1 3n－110＝10（10n－3n）.
10月后
11月后
1年后
89144233
考点动向 ： 数列求和
【考情快报】
难度:中档题
命题指数:★★★
题型:客观题、解答题都可能出现
考查方式:主要考查等差、等比数列前n项和公式以及其他求和方法, 尤其是错位相减法及裂项相消法是高考的热点内容,常与通项公式相 结合考查,有时也与函数、方程等知识综合命题