2019届江苏省高考应用题模拟试题选编（七）1、（江苏省如东中学栟茶中学2018～2019学年度高三年级第一学期期末学情检测高三数学试题）某水乡地区有一片水域，如图所示，它的边界由以O 为圆心的半圆和矩形ABCD 组成，120=CD ,40=AC （单位：米），现规划把此水域分成两块，其中以EF （EF / /CD ）为底的弓形区域养殖虾，其余区域养鱼. 设θ=∠EOB (⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,0πθ.（1）为了方便垂钓，现修两条浮桥EF ,PQ ，其中PQ 过O 点且EF 垂直，当θsin 为何值时，两条浮桥总长度最大；（2）若养虾和养鱼的单位面积年产值之比为2 :1 ．求当θ为何值时，能使该水域的年总产值最大．第1题 第2题2、（如皋市2019届高三上学期期末）一件铁艺品由边长为1（米）的正方形及两段圆弧组成，如图所示，弧BD ，弧AC 分别是以A ，B 为圆心半径为1（米）的四分之一圆弧．若要在铁艺中焊装一个矩形PQRS ，使S ，R 分别在圆弧AC ，BD 上，P ，Q 在边AB 上，设矩形PQRS 的面积为y ．（1）设AP ＝t ，∠P AR ＝θ，将y 表示成t 的函数或将y 表示成θ的函数（只需选择一个变量求解），并写出函数的定义域；（2）求面积y 取最大值时对应自变量的值（若选θ作为自变量，求cos θ的值）．3、（2019年江苏高考强化训练题）汽车作为现代交通工具，已进入千家万户，但考虑到能源因素，其时速与油耗的关系成为驾驶员关注的热点问题，从发动机输出动力的情况分析，可以基本确定速度与油耗是一个U 形曲线，也就是速度低的时候油耗高，随着速度的增加，油耗降低，当达到一个适合这辆汽车最佳经济时速的时候油耗最低，但随着速度进一步加快则油耗也随之上升．已知某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (L )关于行驶速度x (km /h )的函数可以近似地用y ＝ax 3＋bx ＋8表示，且当x ＝60时，y ＝7.4375；当x ＝100时，y ＝12.0625. (1)试求此型号汽车的最佳经济时速(公路限速60≤x ≤120)；(2)某人沿沪宁高速公路从南京驾驶此型号汽车到上海办事，行驶距离大约是300km ，而油箱内存有34L 汽油，试问能否在路途不再加油就到达目的地．4、（江苏省高邮市2019届高三年级阶段性联合学情调研数学试题）如图，某湿地公园有一宽为4百米的水域，水域两边河岸为MN PQ ,，且PQ ∥MN ，水域正中央有一半径为1百米的圆形岛屿，小岛上种植有各种花卉. 已知直径AB 经过圆形岛屿的圆心O 且与两河岸垂直，垂足分别为B A ,，现欲在射线BP 上的点C 处建造一直线型观光木桥使其与小岛边缘相切，切点记为D ，然后沿着圆形小岛的边缘建造圆弧形观光玻璃桥至AB 与圆形小岛的交点E ，再将E 点与A 点以直线型木桥相连（图中实线部分），记θ=∠DCB .（）试用θ表示所建造的木桥和玻璃桥的总长度y （单位：百米）的函数，并写出定义域； （）已知建造木桥的费用时每百米10万元，建造玻璃桥的费用是每百米20万元，现准备投资80万元，试问能否完成该工程.5、（江苏省泰州、南通、扬州、苏北四市七市2019届高三第一次调研测试数学试题）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB AD ，的长分别为23m 和4m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，=3COD 2π∠．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC 与地面水平线l 所成的角为θ．记拱门上的点到地面 的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值．6、（江苏省江都中学、扬中高级中学、溧水高级中学2019届高三下学期期初联考试题）为了保护环境，2018年起国家加大了对工厂废气污水的检查力度，并已经对废气污水处理的θθOOODDDCCCB BBAA AAB CDO图1（第5题）图2图3图4企业给予适当补偿，某医药企业引进污水处理设备，经测算2019年月处理污水成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为[](]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-∈+-=500,200,4000020021200,120,50408031223xxxxxxxy且每处理一吨污水，可得到价值为100元的可利用资源，若污水处理不获利，国家将给予补偿。

(1)当(]500,200∈x时，企业是否需要国家补贴，什么情况下企业需要申请国家补贴？(2)每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？7、（2019年江苏省南通高考学科基地秘卷（四）数学）如图1，有一块直角三角形铁皮ABC，其中4,3==BCAC，（单位：m）.根据实际需要，将此铁皮沿过直角顶点C的一条直线CD折起，形成一个支架，使面BCD与面ACD垂直，如图2，设θ=∠ACD.（1）为安全起见，在BA,之间加一根支柱，当θ为多大时，支柱AB最短；（2）为充分利用，再用铁皮把折起的支架焊接成一个三棱柱铁皮容器ACDB-，当θtan为多大时，此容器的容积最大？图1 图28、（2019届江苏高考数学全真模拟卷一）9、（2019届江苏高考数学全真模拟卷三）第8题第9题10（2019届江苏高考数学全真模拟卷五）第10题第11题11（2019届江苏高考数学全真模拟卷九）1、2、【解】选AP ＝t ．（1）依题意，BQ ＝t ，PQ ＝1－2t ．在Rt △AQR 中，∠RQA ＝90°，AQ ＝1－t ，AR ＝1， 故RQ ()211t --22t t -+所以 y ＝PQ ·RQ ＝()2122t t t --+ …… 5分 显然010121t t <<⎧⎨<-<⎩，，解得102t <<．所以y ＝()2122t t t --+102⎛⎫⎪⎝⎭，． …… 7分（2）由（1）知，y ＝()2122t t t --+，即y ()()22122t tt --+，102t <<． 令()()()4323241212922f t t t t t t t t =+-=-++--，102t <<． 则()()3232'1636182281189f t t t t t t t =-+-+=---+()()()()()22=212t 421921221471t t t t t t t ⎡⎤--++--=---+⎣⎦．令()'0f t =，得733t -733t +=（舍）或12（舍）． …… 10分列表：t73308⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，7338-733182⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ()'f t＋－()f t 单调增极大值 单调减所以当t =()f t 取最大值，y 取最大值．答：面积y 取最大值时，AP …… 14分选PAR θ∠=（1）在Rt △AQR 中，∠RQA ＝90°，AR ＝1，∠RAQ ＝θ， 所以RQ ＝sin θ，AQ ＝cos θ．故BQ ＝AB －AQ ＝1－cos θ，且AP ＝1－cos θ．所以PQ ＝AQ －AP ＝cos θ－(1－cos θ)＝2cos θ－1．所以y ＝PQ .RQ ＝(2cos θ－1)sin θ． (5)分依题意，0sin 10cos 1θθ<<⎧⎨<2-<1⎩，，，解得锐角π03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．所以y ＝(2cos θ－1)sin θ，定义域为π03⎛⎫⎪⎝⎭，． (7)分（2）由（1）知，()2cos 1sin y θθ=-，π03θ<<， 故()222sin sin 2cos 1cos 2cos 2sin cos y θθθθθθθ'=-⋅+-=--()2222cos 21cos cos 4cos cos 2θθθθθ=---=--，令0y '=，解得cos θ，设锐角0π03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且0cos θ=…… 10分列表：故当0θθ=时，y 取最大值．答：面积y 取最大值时，cos θ…… 14分3、解：(1)由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧603a ＋60b ＋8＝7.437 5，1003a ＋100b ＋8＝12.062 5，解得⎩⎨⎧a ＝1128 000，b ＝－380，从而y ＝1128 000x 3－380x ＋8，x ∈[60，120]．(3分)设汽车行驶Skm ，则总油耗W (x )＝Syx＝S ⎝⎛⎭⎫1128 000x 2＋8x －380 (*)．(5分) W ′(x )＝S ⎝⎛⎭⎫164 000x －8x 2＝S （x 3－803）64 000x 2＝S （x －80）（x 2＋80x ＋6 400）64 000x 2.当x ∈[60，80)时，W (x )单调递减；当x ∈(80，120]时，W (x )单调递增．故当x ＝80时，W (x )有最小值，即此型号汽车的最佳经济时速是80km /h .(10分) (2)由(1)可知，当时速是80km /h 时，油耗最小，当x ＝80时，W ＝34，代入(*)，得34＝S ⎝⎛⎭⎫802128 000＋880－380，解得S ＝2 7209>300，故能到达目的地．(16分)4、解：（1）以AB 所在直线为y 轴，点O 为原点，建立如图所示的直角坐标系xOy ，DCB θ∠=，则DOB θ∠=，DOE πθ∠=-，所以(sin ,cos )D θθ-过D 作DH BC ⊥于H ，则2cos DH θ=-所以2cos sin sin DH CD θθθ-==…………4分 由弧DE 长为()1πθπθ-⨯=-，线段1AE =所以玻璃桥的总长度为2cos 1sin y θπθθ-=+-+，(0,]3πθ∈所以所建造的木桥和玻璃桥的总长度y 的函数为2cos 1sin y θπθθ-=+-+，定义域为(0,]3π…………………7分（2）设建造桥的总费用为()f θ万元．建造木桥的费用为2cos ()1010[1]sin CD EA θθ-+⨯=+建造玻璃桥的费用为()2010(22)πθπθ-⨯=-所以2cos ()10[221]sin f θθθπθ-=-++，(0,]3πθ∈ …………………10分222cos 2cos 1'()10[]sin f θθθθ--= (0,]3πθ∈Q ，'()0f θ<，所以()f θ在区间(0,]3π上单调递减min 2[()]()21)33f f πθππ==++)1343(10++=π…………………12分 0)7343(1080)1343(10<-+=-++ππΘ 即80)1343(10<++π答：所以投资80万元，能完成该项工程． …………………14分 5、【解】（1）如图，过O 作与地面垂直的直线交AB CD ，于点12O O ，，交劣弧CD 于点P ，1O P 的长即为拱门最高点到地面的距离． 在2Rt O OC △中，23O OC π∠=，2CO = 所以21OO =，圆的半径2R OC ==． 所以11122=5O P R OO R O O OO +=+-=．答：拱门最高点到地面的距离为5m ． …………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P ．当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离．由（1）知，在1Rt OOB △中，OB ．以B 为坐标原点，直线l 为x 轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P 在劣弧CD 上时，ππ62θ<≤． 由π6OBx θ∠=+，OB = 由三角函数定义，θODCB Axy得O ππ))66()θθ++，则π2)6h θ=++． …………………………………………………………8分所以当ππ62θ+=即π3θ=时， h取得最大值2+ …………………………………………10分（2.2）当点P 在线段AD 上时，06θπ≤≤．设=CBD ϕ∠，在Rt BCD △中，DB =sin cos ϕϕ====．由DBx θϕ∠=+，得))()D θϕθϕ++，． 所以)h θϕ=+4sin θθ=+．……………………………………14分又当06θπ<<时，4cos 4cos 066h θθππ'=->-=>．所以4sin h θθ=+在[0]6π，上递增．所以当6θπ=时，h 取得最大值5．因为25+>，所以h的最大值为2+答：4sin 06π2)662h θθθθθπ⎧+⎪⎪=⎨ππ⎪++<⎪⎩，≤≤，，≤；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（2+m ． …………………………………16分 6、解：当(]500,200∈x 时，设该污水处理项目获利为s2221100(20040000)21(60090000)500021(300)50002s x x x x x x =--+=--++=--+当0≤S 时100,200)30(215002≥≤⇒-≤x x x ……5分 时企业需要申请国家补贴 ……6分(2)由题意，可知污水的每吨处理成本为：[](]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-∈+-=500,200,4000020021200,120,504080312x x x x x x x y当x ∈[120,200]时，x y ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，xy取得最小值240. ……9分 当x ∈（200,500]时，当且仅当，x y 取得最小值)12(200-……12分 因为)12(200-＜240，所以当每月的处理量为2200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．……14分7、400500x ∴≤≤1400002002001)2y x x x =+-≥=-140000,2x x x==θθθθθθcos 4sin 3sin 18sin cos 4sin 31223sin 21+=+⨯=∠⨯=∆ACD CD AC S ACD令θθθθθcos 4sin 3sin cos )(+=fθθθθθcos 4sin 3sin 3cos 4)(33+-='fθθθθcos 4sin 3sin cos 2431+=⨯=-BE S V ACD ACD B8、9、10、11、。