三角函数培优练习题姓名：一、选择题1．如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE ﹣ED ﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t（s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是【 】A ．AE=6cmB ．4sin EBC 5∠=C ．当0＜t≤10时，22y t 5= D ．当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形 2． （2013年四川南充3分） 如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE→ED→DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们运动的速度都是1cm/s ，设P ，Q 出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm ，已知y 与t 的函数关系的图形如图2（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm ；②当0＜t≤5时，22y t 5=；③直线NH 的解析式为5y t 272=-+；④若△ABE 与△QBP 相似，则t=294秒。
其中正确的结论个数为【 】A. 4B. 3C. 2D. 13．（2013年四川泸州2分）如图，点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，把△ADE 沿AE 对折，点D 的对称点F 恰好落在BC 上，已知折痕5，且tan ∠EFC=34，那么该矩形的周长为【 】A ．72cmB ．36cmC ．20cmD ．16cm4．如图，延长Rt △ABC 斜边AB 到D 点，使BD ＝AB ，连结CD ，若tan ∠BCD＝31，则tanA ＝ 4题图 C D BA A. 31 B.32 C. 1 D. 23 二、填空题 5．如图，矩形ABCD 的边AB 上有一点P ，且AD=53，BP=45，以点P 为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC ，线段BC 于点E ，F ，连接EF ，则tan ∠PEF= ．6．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cosA=35，BE=4，则tan ∠DBE 的值是 ．7．如图，正方形ABCD 的边长为22，过点A 作AE ⊥AC,AE=1，连接BE ，则tanE=_ .8．如图。
矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥AC 交AB 于E,若BC=4，△AOE 的面积为5，则sin ∠BOE 的值为 ．（第8题）（第9题） 9．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=5，E 为DC 中点，tan ∠C=34．则AE 的长度为_ __．三、解答题 10．一个长方体箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3ｍ，已知木箱高BE=3m ，斜面坡角为300，求木箱端点E 距地面AC 的高度。
11．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE 的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A 点处测得树顶端D 的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得树顶端D 的仰角为60°．已知A 点的高度AB 为3米，台阶AC 的坡度为13：AB ：BC=13：，且B 、C 、E 三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE 的高度（侧倾器的高度忽略不计）．12．（2013年四川眉山9分）在矩形ABCD 中，DC=23，CF ⊥BD 分别交BD 、AD 于点E 、F ，连接BF ．（1）求证：△DEC ∽△FDC ；（2）当F 为AD 的中点时，求sin ∠FBD 的值及BC 的长度．13．已知：如图，在Rt △ABC 中，ο90=∠C ，3AC =．点D 为BC 边上一点，且2BD AD =，60ADC ∠=︒．求△ABC 周长和BAD ∠sin ．（结果保留根号）14．如图，反比例函数()k y x 0x>=的图象经过线段OA 的端点A ，O 为原点，作AB ⊥x 轴于点B ，点B 的坐标为(2，0)，tan ∠AOB=32。
（1）求k 的值； （2）将线段AB 沿x 轴正方向平移到线段DC 的位置，反比例函数()k y x 0x >=的图象恰好经过DC 的中点E ，求直线AE 的函数表达式；（3）若直线AE 与x 轴交于点M 、与y 轴交于点N ，请你探索线段AN 与线段ME 的大小关系，写出你的结论并说明理由.15．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE 上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？16．如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°．已知BC=90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度为12（即tan∠PCD=12）．（1）求该建筑物的高度（即AB的长）．（2）求此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）17．在与水平面夹角是30°的斜坡的顶部，有一座竖直的古塔，如图是平面图，斜坡的顶部CD是水平的，在阳光的照射下，古塔AB在斜坡上的影长DE为18米，斜坡顶部的影长DB为6米，光线AE与斜坡的夹角为30°21.431.7≈，）．18．如图，数学实习小组在高300米的山腰（即PH=300米）P处进行测量，测得对面山坡上A处的俯角为30°，对面山脚B处的俯角60°．已知tan∠ABC=33，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H，B，C在同一条直线上，且PH⊥HC．（1）求∠ABP的度数；（2）求A，B两点间的距离．19．海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D=35．（1）求小岛两端A、B的距离；（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值．20．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF交DE于点G．（1）求证：△DCF≌△ADG．（2）若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．21．如图，已知A，B两点的坐标分别为A(0，3，B(2，0)直线AB与反比例函数myx的图像交与点C和点D（－1，a）．(1)求直线AB和反比例函数的解析式；(2)求∠ACO的度数；(3)将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长．参考答案1．D 。
【解析】（1）结论A 正确，理由如下：解析函数图象可知，BC=10cm ，ED=4cm ，故AE=AD ﹣ED=BC ﹣ED=10﹣4=6cm 。
（2）结论B 正确，理由如下：如图，连接EC ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，由函数图象可知，BC=BE=10cm ，BEC 11S 40BC EF 10EF 5EF 22∆==⋅⋅=⋅⋅=， ∴EF=8。
∴EF 84sin EBC BE 105∠===。
（3）结论C 正确，理由如下：如图，过点P 作PG ⊥BQ 于点G ，∵BQ=BP=t ，∴2BPQ 11142y S BQ PG BQ BP sin EBC t t t 22255∆==⋅⋅=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=。
（4）结论D 错误，理由如下：当t=12s 时，点Q 与点C 重合，点P 运动到ED 的中点，设为N ，如图，连接NB ，NC 。
此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=82，NC=217∵BC=10，∴△BCN 不是等腰三角形，即此时△PBQ 不是等腰三角形。
故选D 。
2．B 。
【解析】根据图（2）可得，当点P 到达点E 时点Q 到达点C ，∵点P 、Q 的运动的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5cm。
∴AD=BE=5，故结论①正确。
如图1，过点P作PF⊥BC于点F，根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得AB=4，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF。
∴AB4sin PBF sin AEBBE5∠=∠==。
∴PF=PBsin∠PBF=45t。
∴当0＜t≤5时，y=12BQ•PF=12t•45t=22t5。
故结论②正确。
根据5～7秒面积不变，可得ED=2，当点P运动到点C时，面积变为0，此时点P走过的路程为BE+ED+DC=11，故点H的坐标为（11，0）。
设直线NH的解析式为y=kx+b，将点H（11，0），点N（7，10）代入可得：11k b07k b10+=⎧⎨+=⎩，解得：5k255b2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。
∴直线NH的解析式为：555y t22=-+。
故结论③错误。
如图2，当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，∵tan∠PBQ=tan∠ABE=34，∴PQ3BQ4=，即11t354-=。
解得：t=294。
故结论④正确。
综上所述，①②④正确，共3个。
故选B。
考点：动点问题的函数图象，双动点问题，矩形的性质，锐角三角函数定义，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的性质，分类思想的应用。
3．A。
【解析】在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF。
∵∠EFC+∠AFB=180°﹣90°=90°，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠BAF=∠EFC。
∵tan∠EFC=34，∴tan∠BAF =34。
∴设BF=3x、AB=4x。
在Rt△ABF中，根据勾股定理可得AF=5x，∴AD=BC=5x。
∴CF=BC﹣BF=5x﹣3x=2x。
∵tan∠EFC=34，∴CE=CF•tan∠EFC=2x•34=32x。
∴DE=CD﹣CE=4x﹣32x=52x。
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即（5x）2+（52x）2=（105）2，整理得，x2=16，解得x=4。
∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm，矩形的周长=2（16+20）=72cm。