第一章 集 合1 集合的运算一、集合的概念定义1 设有两个集合A，B。

若x A ∈，必有x B ∈，则称A 是B 的子集或B 包含A，记为A B B A ⊂⊃或。

若A B ⊂，且存在x B ∈满足x A ∉，则称A 是B 的真子集。

若A B B A ⊂⊂且，则称A 与B 相等或相同。

定义2 设Λ是一个非空集合，对于每个α∈Λ，指定一个集合A α，于是得到许多集合，它们的总体称为集合族，记为{}|A αα∈Λ或{}A αα∈Λ。

二、集合的运算定义3 设A，B 是两个集合。

（1） 称集合{}|A B x x A x B ∪=∈∈或为A 与B 的并集，即由A 与B 的全部元素构成的集合；（2） 称集合{}|A B x x A x B ∩=∈∈且为A 与B 的交集，即由A 与B 的公共元素构成的集合；定理1（1）交换律 A B B A ∪=∪，A B B A ∩=∩；（2）结合律 ()()A B C A B C ∩∩=∩∩,()()A B C A B C ∩∩=∩∩; （3）分配律()()()A B C A B A C ∩∪=∩∪∩()()()A B C A B A C ∪∩=∪∩∪。

更一般地有 （4）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∪∩=∩∪；（5）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∩∪=∪∩；（6）设{}n A 和{}n B 为两集列，有()111n n n n n n n A B A B ∞∞∞===⎛⎞⎛⎞∪∪=∪∪∪⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠。

定义4 设A，B 是两个集合，称集合{}\|A B x x A x B =∈∉且是A 和B 的差集，即在集合中而不在集合B 中的一切元素构成的集合。

如果B A ⊂，则称\A B 为B 相对于A 的补集或余集。

定理2 （1）(),,,,cccc c c A A X A A AA X X ∪=∩=∅==∅∅=；（1）A ζ⊂；（2）任何包含A 的环（或代数，或σ环或σ代数）*ζ，必有*ζζ⊂。

定义9 定理8中的环（或代数，或σ环或σ代数）ζ称为由集类A 所张成的环（或代数，或σ环或σ代数），并用()A ζ（或()A ℜ或()A σζ或()A σℜ）来表示。

例题：设X 为一非空集合，A 为X 的单点集全体所成的集类，则由① 集类A 所张成的环()A ζ={}|B B 是X的有限子集若X 为有限集，()A ζ也是代数、σ环、σ代数② 若{}|n X a n N =∈，则()A ζ={}|B B 是X的有限子集()A σζ=()A σℜ=2A={}|B B X ⊂ 2 集合的势一、映射定义1 有关映射的一些概念（舍）见教材P9。

定理1 设:TX Y →为映射，则（1）()()1212;A A X A T A ⊂⊂⊂当时，有T （2）()()(),;T A T A A X αααααα∈Λ∈Λ∪=∪⊂∈Λ（3）()()(),;TA T A A X αααααα∈Λ∈Λ∩⊂∩⊂∈Λ（4）()()11212;B B Y B T B −⊂⊂⊂-1当时，有T（5）()()()11,;T B T B B Y αααααα−−∈Λ∈Λ∪=∪⊂∈Λ（6）()()()11,;T B TB B Y αααααα−−∈Λ∈Λ∩=∩⊂∈Λ（7）()()()11cc TB T B −−=由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好注解：①、（3）中如：一个映射f 把X 全部映射成一个值，就可以造成左边为性质2集合A 是无限集的充要条件是A 与其某一真子集对等； （定理4） 性质3（至多可数集的性质） （定理5） （1）可数集A 的任一子集B 为至多可数集； （2）设12,,,n A A A 为至多可数集，则1ni i A =∪仍为至多可数集，如果12,,,n A A A 中至少有一个可数集，则1ni i A =∪为可数集；（3）设12,,,,n A A A 为至多可数集，则1i i A ∞=∪仍为至多可数集，如果12,,,,n A A A 中至少有一个可数集，则1i i A ∞=∪为可数集；（4）设12,,,n A A A 为可数集，则12n A A A ××× 为可数集。

（5）若集合{}12,,,|,1,,n a a a i i i A x a A A i n =∈= 为可数集，，则A 为可数集。

常用结论：①有理数集Q 是可数集，n R 中有理点集nQ 为可数集。

②1R中互不相交的开区间族是至多可数集。

定理6若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则A B ∪～A由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射；设{}12,,B b b = 为可数集，A B ∩=∅，由性质１知，Ａ存在可数子集{}112,,A a a = ，作映射:f A B A ∪→()212,,1,2,,,1,2,,,,1,2,k k k k k k a x a k x f x a x b k x x a b k −==⎧⎫⎪⎪===⎨⎬⎪⎪≠=⎩⎭（2）要证A 与B 对等，可将A 和B 都分解为不交并，即1212,A A A B B B =∪=∪再分别证明1A ~1B ，2A ~2B()()()1111\,\\A A A A A B A A A B A =∪∪=∪∪⎡⎤⎣⎦注解：①、()\E F E F =∪②、以上两个定理表明，只要有了全部的G δ和F σ和全部的零测集，一切可测集都可以通过G δ型集与一零测集的差集或F σ型集与一零测集的并集获得。

定理7设A、B 分别为pR 和qR 中的可测集，若E A B =×，则E 为p qR+中的可测集，且mE mA mB =• 注解：定理证明中所用到的结论：① n R 开集的构造：n R ()2n ≥中非空开集G 是可数个互不相交的半开半闭区间的并集；② E 是可测集，则存在一列单调递减的开集列{}n G ，使得n E G ⊂，且1\0n n m G E ∞=⎛⎞∩=⎜⎟⎝⎠；或存在一列单调递增的闭集列{}n F ，使得n F E ⊂，且1\0n n m E F ∞=⎛⎞∪=⎜⎟⎝⎠。

（见教材P64课后习题20、21题）③ 当可测集A、B 无界时，A、B 分别都可以表示成一列互不相交的有界可测集的并集，即11,i j i j A A B B ∞∞===∪=∪，其中,i j A B 都是有界可测集。

④ 思路：由定理5（3）存在G δ集12,G G ，使121,,A G B G mA mG ⊂⊂=且()()212,\0,\0mB mG m G A m G B ===**12\,\A G A B G B ==记()()()()****12\\\E A B G G A B A B A B =×=××××第三章 可测函数1 可测函数的定义及简单性质一、可测函数的定义及等价定义 1、简单函数③几何意义为下方图形测度，即()(),Ex dx mG E ϕϕ=∫。

性质1设()(),x x ϕψ是可测集E 上非负简单函数，如果()()()x x x E ϕψ=∈，则 ()()()EEx dx x dx x E ϕψ=∈∫∫。

注解：上述定理说明非负简单函数的Lebesgue 积分与简单函数的表示形式无关。

性质2设()(),x x ϕψ是可测集E 上非负简单函数，则 （1）对任何非负实数c，有()()EEc x dx c x dx ϕϕ=∫∫；（2）()()()()E E E x x dx x dx x dx ϕψϕψ+=+⎡⎤⎣⎦∫∫∫； （3）若()()()x x x E ϕψ≤∈，则()()EEx dx x dx ϕψ≤∫∫，特别的，()()max Ex dx x mE ϕϕ≤⋅∫（经常用）；（4）若A，B 是E 的两个不交子集，则()()()A BABx dx x dx x dx ϕϕϕ=+∫∫∫∪。

证明要点：（2）()()()()1111,,,0,i j n mnmi A j B i j i j i j i j x a x x b x a b E A B ϕχψχ======≥==∑∑∪∪，且{}i A 与{}j B 均互不相交，则()()()()11i j n mi j A B i j x x a b x ϕψχ==+=+∑∑∩。

注解：设()x ϕ是可测集E 上非负简单函数，A 是E 的可测子集，则 ()()()A AEx dx x x dx ϕϕχ=∫∫。

设E 的有限不交分解为1n k k E E ==∪，则()1nk k E E A ==∪∩为A 的有限不交分解。

2 非负可测函数的Lebesgue 积分定理1设(){}(){},n n x x ϕψ是E 上单调增的非负简单函数列，如果 ()()lim lim n n n n x x ϕψ→∞→∞=，那么()()lim lim n n EEn n x dx x dx ϕψ→∞→∞=∫∫。

证明：令()()()lim lim n n n n x x f x ϕψ→∞→∞==，则()0f x ≥且在E 上可测。

由于(){}n x ϕ(){}nx ψ是E 上单调增，()()()11,,,n n n n G E f G E G E ϕψ∞∞====∪∪。

下证(),n G E ϕ，是单增集合列，()(),,n x y G E ϕ∀∈，有1,0n n x E y ϕϕ+∈≤≤≤ 从而()()1,,n x y G E ϕ+∈。

再用集合间互相包含证明()()1,,n n G E f G E ϕ∞==∪。

所以()(),lim ,lim n n En n mG E f mG E dx ϕϕ→∞→∞==∫。

定义1设f（x）是可测集E 上的非负可测函数，(){}n x ϕ是E 上的单调增且收敛 于f（x）的非负简单函数列，记()()lim n EEn f x dx x dx ϕ→∞=∫∫，称()Ef x dx ∫为f（x）在E 上的Lebesgue 积分。

注解：如果()Ef x dx <+∞∫，则称f（x）在E 上Lebesgue 可积。

由定理1有非负可测函数的Lebesgue 积分值与非负简单函数列(){}n x ϕ的选取无关。

性质 设f（x），g（x）是E 上的非负可测函数，则 （1）对任何非负实数c，有()()EEc x dx c x dx ϕϕ=∫∫；（2）()()()()E E E x x dx x dx x dx ϕψϕψ+=+⎡⎤⎣⎦∫∫∫； （3）若()()()f x g x x E ≤∈，则()()EEf x dxg x dx ≤∫∫；（4）若A，B 是E 的两不交可测子集，则()()()A BABf x dx f x dx f x dx =+∫∫∫∪；（5）若()(),..f x g x a e E =于，则()()EEf x dxg x dx =∫∫；（6）若A，B 是E 的可测子集，且A B ⊆，则()()ABf x dx f x dx ≤∫∫。