• 1894年 赫兹 首次将系统按约束类型分为完整约束和非完整约 束两大类。
• 20世纪至今 分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统 作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广 泛的研究。
• 四 应用
• 分析力学的方法可以推广到量子力学系统和复杂动 力学系统中，在量子力学和非线性动力学中都有重 要应用。
φ2
B
(xB xA )2 ( yB yA )2 l22
2-2 广义坐标
• 定义：确定质点系位置的独立参数称为广义坐标。
• 在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该 系统的自由度数。
例一：如曲柄连杆机构有一个自由度，可任选xA、 yA 、 xB
之一为广义坐标，而选 更方便。
y
A l
r o
y
o
x
φl
A
ωr
l
o
B x
y
M
x2 y2 l2
x
2 A
y
2 A
r2
(xA xB )2 ( yA yB )2 l2
yB 0
运动约束：当质点系运动时受到的某些运动 条件 的限制称为运动约束(非完整约束)。
• 即：这种约束对质点或质点系不仅有位移方面的限制， 而且有速度或角速度方面的限制。
分析力学是理论力学的一个分支，是对经 典力学的高度数学化的表达。
• 经典力学最初的表达形式由牛顿给出，大 量运用几何方法和矢量作为研究工具，因 此它又被称为矢量力学（有时也叫“牛顿 力学”）。
• 拉格朗日、哈密顿、雅可比等人使用广义 坐标和变分法建立了一套同矢量力学等效 的力学表述方法。
• 同矢量力学相比，分析力学的表述方法具 有更大的普遍性。很多在矢量力学中极为 复杂的问题，运用分析力学可以较为简便 的解决。
• 虚位移是无限小的位移； 实位移可为无限小，也可为有限值；
• 虚位移是假想的位移，与时间、力、质点系的运动情 况无关；
• 在定常几何约束下，质点系无限小的实位移是其虚位 移之一。
3.说明 • 虚位移常用r、 x、s、等表示； • 关于符号δ：
• δ---等时变分算子符号（变分符号）；
• δ---表示无限小的变更；
• 1788年 拉格朗日 《分析力学》 世界上最早的一本分析力学的著作。虚功原理和 达朗贝尔原理两者结合，可得到动力学普遍方程， 从而导出分析力学各种系统的动力学方程。
• 1834年，哈密顿 正则方程 用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程。 哈密顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的 点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问 题。
f (x1, y1, z1,..., xn , yn , zn ) 0
2.自由度和广义坐标
2-1 自由度
• 定义：在完整约束的条件下，确定质点系位置的
独立参数的个数等于该质点系的自由度数。
情形一：以质点作为质点系基本单元
质点系由n个质点、s个完整约束组成，
则其自由度 N = 3n－ s
对平面问题，如Oxy平面内，zi≡0，
• 如：车轮在直线轨道上作纯滚动（轨道限制轮心作直线
运动，且滚过的弧长等于轮心走过的距离。）
y
r
C Mφ
M
o xC
ω
C
轮C在水平轨道上纯滚动的条件表达为
vC
yC = r
或 yC = r
P
x
vC－rω=0
x&C r& 0
瞬心
运动约束方程
⒉双面约束和单面约束
• 双面约束：如果约束不仅限制质点在某一方向的 运动，而且能限制其在相反方向的运动，称之为 双面约束。
则 N = 2n－ s
例：图示的平面摆， 其中：n = 1，s = 1。
则 N = 2×1－1=1
o
x
φl
y
M
x2 y2 l2
情形二：以刚体作为质点系基本单元
质点系由n个刚体、s个完整约束组成，则其自由度
N = 6n－ s
对平面问题，如Oxy平面内，两个平动一个转动，则
N = 3n－ s
例1：图示的轮C在水
4.方向总是与约束限制物体的位移方向相反。
• 例如，光滑接触面约束：约束力沿接触面 公法线方向指向物体。
• 在支座约束中，固定铰支座，约束反力过 销中心，方向不能确定，通常用正交的两 个分力表示。
• 解除约束原理
• 当受约束的物体在某些主动力的作用下处 于平衡，若将其部分或全部约束解除，代 之以相应的约束反力，则物体的平衡不受 影响。
分析力学
主讲教师：王飞
学时 学分 性质
24 1.5 必修
致童鞋们
之学生虐我千百遍，我待学生如初恋
• 教书是一场盛大的暗恋，你费劲心思去爱 一群人，最后却只感动了自己。
• 曾经怕自己一个人考不好，现在怕一群人 考不好。
• 你若不离不弃 我必生死相依 你若自我放弃 我也无能无力
绪论
• 一 什么是分析力学？
举例： 定常约束：前面所列的单摆、曲柄连杆机构及车轮的约束； 非定常约束：变摆长的单摆。
其中摆锤M可简化为质点，软线是摆锤
的约束，初始长度为 l ，穿过固定的小
圆环，在拉拽过程中,以速度v伸长。在 任意瞬时t，其约束方程为:
x2 y2 (l0 vt)2
o
x
v
φl
y
M
本章只讨论： 完整的（几何的）、双面的、定常的约束！
• 近20年来，又发展出用近代微分几何的观点来研 究分析力学的原理和方法。它广泛用于结构分析、 机器动力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器 人动力学以及各种工程技术领域，也可推广应用于 连续介质力学和相对论力学。
• 五 研究意义
分析力学是经典物理学的基础之一， 也是整个力学的基础之一。
•六 分析力学与理论力学比较
(i 1,2, , n)
矢量形式为： ri ri (q1, q2 , qN )
注：用广义坐标表示各质点位置的一般表达式，隐含了约束 条件，这是采用广义坐标的方便之处。
3.虚位移
1.定义：在某瞬时，质点系在约束所允许的条件下， 可能实现的、任何无限小的位移称为虚位移。
2.虚位移的特点： • 虚位移仅与约束条件有关，是纯粹的几何量； • 与实位移相比：
f (x x, y y, z z) 0
f (x x, y y, z z) f (x, y, z) f x f y f z 0
x y z
f x f y f z 0
x y z
其中：
rr
r xi
r yj
r zk
f
r i
f
r j
f
r k
nr
x y z
为曲面上该点 的法向矢量!
δr1
物块M的虚位移可以是沿斜面 向下的δr1，也可以是沿斜面向上 的δr2，因为δr1，δr2都是约束所容 许的。
4-2.非定常约束下，无限小的实位移不是虚位移之一！
物块M置于以速度vo移动的斜面上，斜面对于物块M的约束是非 定常约束。
M
dre
在dt内，斜面位移为dre，物块的实 位移为dr 。根据合成运动理论，有
理论力学
分析力学
相同点
对象
不 同
方法
点 基础
同属经典力学
力 几何法 牛顿定 分析动力学
• 分析静力学
• 以一般质点系为力学模型，应用达朗伯原理和虚位 移原理方法得出平衡的普遍规律。
• 分析动力学
• 在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，运用动力 学普遍方程和拉格朗日方程，解决非自由质点系 的动力学问题。
即：刚体作平面运动时，体内任意一 点都在与某固定平面平行的平面内运 动。
二．刚体平面运动的特征 1．速度基点法
平面图形的运动可以看成是: 牵连运动（随同基点A的平动）与 相对运动（绕基点A 的转动）的合成
• 单面约束：如果约束仅限制质点在某一方向的运
动，称之为单面约束。
约束：单摆
约束分类
约束方程
刚性摆杆 不可伸长的绳
双面约束 单面约束
x2 y2 l2
x2 y2 l2
⒊定常约束和非定常约束
• 定常约束：约束方程中不显含时间 t的约束 。 f (x , y , z ) = 0
• 非定常约束：约束方程中显含时间 t的约束。 f (x , y , z ，t )=0
平轨道上纯滚动， 其中：n = 1，s = 2。
则 N = 3×1－2=1
y
ω
C
vC
φ
o
xC
P
x
yC = r vC－rω=0
例2：图示的平面双摆由刚体OA、AB及铰链O、A组成 ，
其中：n = 2，s = 4，
则 N = 3×2－4=2
o
y
xo 0
yo
0
xA2
yA2
l12
φ1 l1 A
l2
x
所以 nr rr 0
非自由质点 M 的虚位移垂直于曲面上该点处的法线， 也就是说虚位移必在通过该点的曲面的切平面上。
补充知识：
刚体的平面运动
------平面图形上各点的速度
一．刚体平面运动的定义
刚体运动时，如果体内任意一点到某 一固定平面的距离始终保持不变，则 这种运动成为刚体的平面运动。
非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束
• 注意：这里的约束是名词，而非动词的约束。
• 实现这些约束条件的物体称为约束体。 受到约束条件限制的物体叫做被约束体。习惯上， 把约束体简称为约束,将被约束体简称为物体。
• 主动力和约束力（或约束反力）
• 约束力（或约束反力）——把约束对物体的作用力 称为约束力。
• 主动力——作用于被约束物体上的除了约束以外的 力统称为主动力，如重力，结构承受的风力和水压 力、机械结构中的弹簧力以及电磁力等等。