数学·选修4－5(人教A 版)2.2　综合法与分析法一层练习1．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的( )A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．必要或充分条件答案：B2．若x ＞y ＞1,0＜a ＜1，则下列式子中正确的是( )A ．a x ＞a yB ．log a x ＞log a yC ．x a ＜y aD ．x －a ＜y －a答案：D3．设a ，b∈R ＋，A ＝＋，B ＝，则A ，B 的大小关系是( )a b a ＋b A ．A≥B B ．A≤BC ．A>BD ．A<B答案：C证明不等式的基本方法4．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，且a≠b，那么a ＋b,2，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________．ab 答案：a ＋b5．求证：＜2－.753证明：21＜25⇒＜521⇒2＜1021⇒10＋2＜2021⇒(＋)2＜(2)2735⇒＋＜2735⇒＜2－.753所以原不等式成立．二层练习6．若1<x<10，下面不等式中正确的是( )A ．(lg x)2<lg x 2<lg(lg x)B ．lg x 2<(lg x)2<lg(lg x)C ．(lg x)2<lg(lg x)<lg x 2D ．lg(lg x)<(lg x)2<lg x 2[:答案：D7．设a≥b，b>0，M ＝，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系是________．a 2＋b 2ab 答案：M≥N8．a ，b 是正数，求证：≥.a 2＋b 2 a ＋b 212证明：＝a 2＋b 2 a ＋b 2 a ＋b 2－2ab a ＋b 2＝1－≥1－＝1－＝，2ab a ＋b 22·(a ＋b 2)2 a ＋b 21212当且仅当a ＝b 时取“＝”．9．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：lg ＋lg ＋lg ＞lg a ＋lg b ＋lg c.a ＋b 2b ＋c 2c ＋a 2证明：证法一(综合法)∵a，b ，c∈R ＋，∴≥＞0，≥＞0，≥＞0，且上述三个不等式中等号不能同时成立，a ＋b 2ab b ＋c 2bc c ＋a 2ac ∴··＞abc.a ＋b 2b ＋c 2c ＋a 2∴lg＋lg ＋lg ＞lg a ＋lg b ＋lg c.a ＋b 2b ＋c 2c ＋a 2证法二(分析法)lg＋lg ＋lg ＞lg a ＋lg b ＋lg c ⇐a ＋b 2b ＋c 2c ＋a 2lg ＞lg abc ⇐(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2)··＞abc.a ＋b 2b ＋c 2c ＋a 2因为≥＞0，≥＞0，≥＞0，且以上三个不等式中等号不能同时成立，所以·a ＋b 2ab b ＋c 2bc c ＋a 2ac a ＋b 2·＞abc 成立，从而原不等式成立．b ＋c 2c ＋a 210．(2018·新课标Ⅱ卷)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)ab ＋bc ＋ca≤；13(2)＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab，b 2＋c 2≥2bc，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca.由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤.13(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，a 2b b 2c c 2a故＋＋＋(a ＋b ＋c)≥2(a＋b ＋c)，即＋＋≥a＋b ＋c.a 2b b 2c c 2a a 2b b 2c c 2a所以＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a 三层练习11．(1)设x≥1，y≥1，求证：x ＋y ＋≤＋＋xy.1xy 1x 1y(2)1<a≤b≤c，求证：log a b ＋log b c ＋log c a≤log b a ＋log c b ＋log a c.证明：(1)由于x≥1，y≥1，所以x ＋y ＋≤＋＋xy ⇔xy(x ＋y)＋1≤y＋x ＋(xy)2，1xy 1x 1y将上式中的右式减左式，得[y ＋x ＋(xy)2]－[xy(x ＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x ＋y)－(x ＋y)]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y)(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)．又x≥1，y≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数换底公式得log c a ＝，log b a ＝，log c b ＝，log a c ＝xy.1xy 1x 1y于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋≤＋＋xy ，1xy 1x 1y其中x ＝log a b≥1，y ＝log b c≥1.故由(1)知所要证明的不等式成立．12．(2018·上海卷·节选)给定常数c>0，定义函数f(x)＝2|x ＋c ＋4|－|x ＋c|，数列a 1，a 2，a 3…满足a n ＋1＝f(a n )，n∈N *.(1)若a 1＝－c －2，求a 2及a 3；(2)求证：对任意n∈N *，a n ＋1－a n ≥c.解析：因为c>0，a 1＝－(c ＋2)，故a 2＝f(a 1)＝2|a 1＋c ＋4|－|a 1＋c|＝2，a 3＝f(a 1)＝2|a 2＋c ＋4|－|a 2＋c|＝c ＋10.(2)要证明原f(x)≥x＋c ⇔2|x ＋c ＋4|－|x ＋c|≥x＋c ，即只需证明2|x ＋c ＋4|≥|x＋c|＋x ＋c ，若x ＋c≤0，显然有2|x ＋c ＋4|≥|x＋c|＋x ＋c ＝0成立；若x ＋c>0，则2|x ＋c ＋4|≥|x＋c|＋x ＋c ⇔x ＋c ＋4>x ＋c 显然成立．综上，f(x)≥x＋c 恒成立，即对任意的n∈N *，a n ＋1－a n ≥c.13．设实数数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n ＋1＝a n ＋1S n (n∈N *)，(利用综合法和分析法)求证：对k≥3有0≤a k ≤.43证明：由题设条件有S n ＋a n ＋1＝a n ＋1S n ，故S n ≠1，a n ＋1≠1且a n ＋1＝，S n ＝，S n S n －1a n ＋1a n ＋1－1从而对k≥3有a k ＝＝＝＝.①S k －1S k －1－1a k －1＋S k －2a k －1＋S k －2－1a k －1＋a k －1a k －1－1a k －1＋a k －1a k －1－1－1a 2k －1a 2k －1－a k －1＋1因a －a k －1＋1＝a k －1－2＋>0且a ≥0，由①得a k ≥0.2k －112342k －1要证a k ≤，由①只要证≤，即证3a ≤4(a －a k －1＋1)，即(a k －1－2)2≥0.43a 2k －1a 2k －1－a k －1＋1432k －12k －1此式明显成立．因此a k ≤(k≥3)．即原4314．设b>0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝(n≥2)．nba n －1a n －1＋2n －2(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ，a n ≤＋1.b n ＋12n ＋1解析：(1)由a n ＝可得nba n －1a n －1＋2n －2＝·＋，n a n 2b n －1a n －11b当b ＝2时，＝＋，则数列是以＝为首项，为公差的等差数列，n a n n －1a n －112{n a n }1a 11212∴＝，从而a n ＝2.n a n n 2当b≠2时，＋＝，n a n 12－b 2b (n －1a n －1＋12－b )则数列是以＋＝为首项，为公比的等比数列，{n a n ＋12－b }1a 112－b 2b 2－b 2b ∴＋＝·n －1＝·n ，n a n 12－b 2b 2－b (2b)12－b (2b )∴a n ＝.nb n 2－b 2n －b n综上，a n ＝Error!(2)当b ＝2时，a n ＝2，＋1＝2，b n ＋12n ＋1∴a n ＝＋1，从而不等式成立；b n ＋12n ＋1当b≠2时，要证a n ≤＋1，b n ＋12n ＋1只需证≤＋1，nb n 2－b 2n －b n b n ＋12n ＋1即证≤＋，n 2－b 2n －b n b 2n ＋11b n 即证≤＋，n 2n －1＋2n －2b ＋2n －3b 2＋…＋2b n －2＋b n －1b 2n ＋11b n即证n≤＋＋＋…＋＋＋＋＋…＋＋，2n －1b n 2n －2b n －12n －3b n －22b 21b b 22b 223b n －12n b n2n ＋1而上式右边＝＋＋…＋＋≥2＋(2n －1b n ＋b n 2n ＋1)(2n －2b n －1＋b n －12n )(2b 2＋b 223)(1b ＋b 22)2n －1b n ·b n2n ＋12＋…＋2＋2＝n.2n －2b n －1·b n －12n 2b 2·b 2231b ·b 22∴当b≠2时，原不等式也成立，从而原不等式成立．1．综合法是从已知条件或基本不等式出发，运用不等式的有关性质推导出所要证明的不等式，证明思路是“由因导果”．综合法证明不等式，要揭示出条件与结论间的因果联系，为此要着力分析已知与求证间，不等式左、右两端的差异与联系，合理变换、恰当选择已知不等式是证明的关键．寻找启动不等式是综合法的难点．常用不等式有：(1)a 2≥0(a∈R)；(2)(a －b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a 2＋b 2≥2ab，2≥ab，a 2＋b 2≥(a ＋b 2)(a ＋b)2；(3)若a ，b∈R ＋，≥，特别的有＋≥2；(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca(a ，b ，c∈R)．12a ＋b 2ab b a a b2．分析法就是从求证的不等式出发，执果索因，找出使这个不等式成立需具备的充分条件，直至能肯定所需条件已经具备．证明的关键是推理的每一步都必须可逆．对思路不明显，从条件看感到无从下手的问题宜用分析法．用分析法证明“若A 则B”的模式为：欲证只需证只需证……[:只需证明A 为真．今已知A 为真，故B 必真．可以简单写成：B ⇐B 1⇐B 2⇐……⇐B n ⇐A.3．证明时省略掉“要证明”和“只需证明”的字样，就会颠倒因果关系而犯逻辑上的根本错误，但可用“⇐”取代那些必要的词语．应予以足够重视．4．分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的特点是利于思考，因为其方向明确，思路自然，易于掌握．综合法的优点是宜于表述、条理清楚、形式简洁．证明时常用分析法探索证明途径，后用综合法的形式写出证明过程，这是解数学问题的一种重要思想方法．分析与综合互为前提，相互渗透，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点，分析法和综合法要结合起来使用，也就是“两头凑”，会使问题较易解决．即在分析过程中有时进行到一定步骤不易进行下去，就要从已知条件出发，进行推理，直至综合法推出的结论与分析法追溯的充分条件同一为止，从而证明了不等式．这种“由两头往中间靠”的方法可称为分析综合法．5．一般来说，如果已知条件信息量较小，或已知与待证间的直接联系不明显，“距离”较大，用分析法来证明．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。