1
2
O
①
X
X
②
③
3
4
Y
Y
作用：用于建立位移法方程
表述杆端力时每根杆件都需要一套局部坐标，但 建立位移法方程时每个结构则需要一个统一的坐标。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
4、单元刚度矩阵 单元刚度矩阵——两端固定单元，由两端发生单 位位移产生的杆端力的矩阵形式。 局部坐标下的单元刚度矩阵 单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵
0,0
0,5
先处理法：
结点编号如图所示，
8个未知量，号就编到8。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例4： 1 ① 2
1,2
3,4
①
② ⑥
⑤③
② ⑥
⑤③
④
3
4
后处理法：
单元编号如图所示，
①单元 对应 “1”、“2”
⑤单元 对应 “1”、“4”
④
0,0
0,5
先处理法：
单元编号如图所示，
①单元 对应 “1,2”、“3,4”
§10-1 概述
3）矩阵位移法——它是以结点位移作为基本未知量
的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化， 故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆件结构的矩阵位 移法也被称为杆件结构的有限元法。 2、基本思路 1）手算位移法
（1）取基本体系——构造各自独立的单跨超静梁的
组 合体；
（2）写出杆端弯矩表达式——建立各杆件的杆端弯
0,0,0
0,0,0
先处理法：
单元编号如图所示，
①单元两头的结点号为： “1,2,3”、“4,5,6”，如 果结点的坐标已知，单 元的位置同样定了。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例2： 1
2
1,2,3
4,5,6
3
4
后处理法：
结点编号如图所示，
由于：u3 v3 0
u4 v4 4 0
5、回代得：杆端弯矩
§10-1 概述
M1
M2
i1
i2
1
2
把以上解题过程写成矩阵形式：
M3 3
1、确定未知量：可以通过编号来解决（一个结点一
个转角未知量）。 2、杆端弯矩表达式（按杆件来写）
单元刚 度方程
1-2杆
1
M12 M21

4i11 2i11

2i12 4i12
写成矩阵形式
MM1221
FAX FAY
MAB A
MBA FBX B FBY
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例4： 1 ① 2
② ⑥
⑤③
单元定位向量：
①

1

②

3

2
1
④
3
4
后处理法：
局部坐标如图所示，
①单元 对应 “1”、“2”
⑤单元 对应 “4”、“1”
③

4

2
《结构力学教程》（I）
第10章 矩阵位移法
主要内容
§10-1 §10-2 §10-3 §10-4 §10-5 §10-6 §10-7 §10-8 §10-9
概述 局部坐标下的单元刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度矩阵 连续梁的整体刚度矩阵 刚架的整体刚度矩阵 荷载列阵 计算步骤及算例 忽略轴向变形时刚架的整体分析 桁架结构的整体分析
e
其中：
FX1
u1
FY1
e
F=
M1
FX2
v2
e = 1 u2
Fy2
M2
Fe----单元杆端力列阵
v2
§10-1 概述
1、结构分析方法
1）传统方法——前面介绍的力法、位移法、力矩分
配法等都是传统的结构分析方法,适用于手算,只能分 析较简单的结构。
2）矩阵分析方法——矩阵力法和矩阵位移法，或称
为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以 传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形 式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它 能解决大型复杂的工程问题。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
1、单元划分及编号
①
在杆系结构中以自然的一根杆件 ②
③
为一个单元，并以加圈的数字为记号。
如图所示为刚架的单元划分。
2、结点编号及未知量确定
结点编号的作用： 用于单元定位 确定未知量
结点编号的方法： 先处理法
后处理法
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
在确定未知量时： ● 不忽略轴向变形； ● 所有单元都是两端固定的。
§10-1 概述
M1
M2
M3
i1
1
2
3、建立方程：
i2 3
M1 0
M12 M1
4i11 2i12 M1 … …①
M2 0
M21 M23 M2
2i11 (4i1 4i2 )2 2i23 M2 … ②
M3 0
M32 M3
2i22 4i23 M3 … … ③ 4、解方程得：1 2 3
因此未知量为7个。
0,0,7
0,0,0
先处理法：
结点编号如图所示，
7个未知量，号就编
到7。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例3： 1
2 3
1,2,3
4,5,6 4,5,7
4
5
后处理法：
结点编号如图所示，
由于：u2 u3 v2 v3
u4 v4 0
u5 v5 5 0 因此未知量为8个。
0,0,8
0,0,0
先处理法：
结点编号如图所示，
8个未知量，号就编到8。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例3： 1 ①
2 3
1,2,3
4,5,6

①
4,5,7
②
③
②
③
4
5
后处理法：
0,0,8
0,0,0
先处理法：
单元编号如图所示， 单元编号如图所示。 ①单元 对应 “1”、“2” ①单元 对应 “123”、“456”
2
6EI L2

2
6EI L2

2
2
6LE2I 1
4EI L

2
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
1
Fx1

EA L
(u1
u2 )
叠生 加六 原个当
号 杆 端
Fy1

12EI L3
v1

6EI L2
1

12EI L3
v2

6EI L2
2
M1

6EI L2
v1

4EI L
1

6EI L2
⑤

4

1
④

3

4
⑥

3

2
…
先起始点后终点
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例4： 1,2 ① 3,4
单元定位向量：
1
0
② ⑥
⑤③
④
①
2 43

②
0 21

0,0
0,5
0
0
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
把杆端力与杆端位移的表达式写成矩阵形式：
FX1
EA L
0
0
-EA L
0
0
u1
FY1
0
12EI 6EI
L3
L2
0
-12EI 6EI
L3
L2
v2
M1 = 0
6EI 4EI 0
L2
L
-6EI 2EI
L2
L
1
FX2
-EA L
0
0
EA L
0
0
u2
Fy2
0
-12EI -6EI
2i1
4i1 4i2
0
2i2
M1
M2
i1
1
2
3
0
2i2

4i2
1 2
12


MM12

3 3 M3
M3 i2
3
结点荷载列阵
4、解方程得：1 2 3 5、回代得：杆端弯矩
结点位移列阵 整体刚度矩阵
以上五个方面就是我们在本章中需仔细研究的。
矩与杆端位移间的关系；
§10-1 概述
（3）根据结点、截面的平衡条件——建立力的平衡
方程，即位移法方程。 2）矩阵位移法
（1）结构离散化——划分单元； （2）单元分析——建立单元的杆端力与杆端位移间
的关系，形成单元刚度矩阵；
（3）整体分析——建立整个结构的结点位移与结点
荷载间的关系，形成结构刚度矩阵。
因此一个刚结点就有3个位移：u, v, ，而且支
座位移也要作为未知量。
先处理法：是直接给未知量编号。 后处理法：是先给结点编号（包括支座结点）， 然后按一个结点3个位移再减去支座约束计算。
§10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵
例1： 1
2
1,2,3
4,5,6
后处理3 法： 4 结点编号如图所示，
由于：u3 v3 3 0 u4 v4 4 0
§10-1 概述
下面用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。
M1
M2
i1
i2
1
2
用位移法解该题 ：