3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质
keEl A11 11kk1211 kk1222
单刚具有对称性：
由反力互等定理可知 kij k ji keTke
单刚一般具有奇异性： 受力角度：存在刚体位移，杆端位移无法唯一确定 数学角度：向量相关，矩阵不可逆，行列式为零。
16
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
由变形连续条件知，结点发生单位位移，交于该结点的各 单元的杆端也发生单位位移，由此产生的单元杆端力应是单 元刚度矩阵中的元素。
结点单位位移产生的结点力是整体刚度矩阵中的元素。由 平衡条件知交于某结点的各单元杆端力之和等于该结点的相 应结点力。故整体刚度矩阵中的元素应是由对应的单元刚度 矩阵中的元素叠加而成。
综上所述，整体刚度矩阵可以根据单元的结点位移 分量的局部码和总码之间的对应关系，由单元刚度 矩阵集成结构整体刚度矩阵。
24
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成
y
FP
FR1 FR2
离散
FR3
1
x
FR4
1
FR1 1(1,2)
FR2
3(5,6) FP
2 2
2
1
FR3 2(3,4)
FR4
25
第四节 整体分析
c、正负号规定（采用右手法则）
杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。 结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正；
8
第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路
先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中，一 般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化。然 后按单元力学性质对每个单元分析建立单元刚度方程，在 满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整 体求解。在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构的 计算问题转化为简单单元分析和集合问题。
EA l u1
u1 e
1
EA 2
EA
l u2
1
e
u2
EA 2
EA l u1 EA
l u2
局部坐标 系下的单 刚方程
F1e E l A u1eE l A u2e
F 2eE l A u1eE l A u2 e
F1e F2
El A11
11uu12e
Fekee
ke El A11
1 1
14
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
结构力学
学习内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩
阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整
体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 利用对称性简化位移法计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
2
学习目的和要求
矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称 为杆件结构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些 术语和提法。
6
第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路
a、方法的选择
位移法与力法之由于选取的基本未知量不同，因此计算次序不同
力法
结构结点力 杆件杆端力 杆件端点位移 结构结点位移
位移法
1、整体刚度矩阵的集成
整体刚度方程是整体结构的结点力与结点位移之间的关系 式，是通过考虑结构的变形连续条件和平衡条件建立起来 的。无论何种结构，其整体刚度方程都具有统一的形式：
KΔ P
[K]是整体刚度矩阵； {Δ}结构的结点位移列向量； {P}结构的结点力列向量。
23
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成
26
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成
将离散单元集合时应满足位移协调和平衡条件
位移协调
3(5,6)
Δ1δ11
FP
Δ2δ12
2
1
2
Δ 3δ21δ22
2
1
1
1(1,2)
2(3,4)
27
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成
将离散单元集合时应满足位 FP
R1F11
1
1
3
K
1
k11
0
1
k21
1
0 0
0
k12
1
0
k22
1
2
2 3
0
K 2
0
0
0
k11 2 k21 2
0
k12
2
k22
2
30
第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成 按位叠加得整体刚度矩阵
KK1K2
k11 1
0
k21 1
0
k11 2 k21 2
k12 1
k12 2
k22 1 k22 2
1、整体刚度矩阵的集成
分别写出整体坐标系下单元刚度方程
F F12ekk1211 kk1222eδ δ12e
F1e
X1 Y1
e
δ1e
uv11
e
F2 e
X2 Y2
e
δ2 e
uv22
e
F 1 e k 1 e 1 δ 1 e k 1 e 2 δ 2 e
F 2 e k 2 e 1 δ 1 e k 2 e 2 δ 2 e
整体坐标系中的单元刚度矩阵与局部坐标系中的 单元刚度矩阵有类似的特性（对称、奇异）。另外， 局部坐标系中的单元刚度矩阵只与单元的几何形状、 物理常数有关；整体坐标系中的单元刚度矩阵不仅与 单元的几何形状、物理常数有关，还与单元的位置和 方位有关。
22
第四节 整体分析
利用结点位移协调和结点力平衡条件将各单元整合到一 起,得到一个关于结点位移的线性代数方程——集零为整
δeTδe
19
第三节 单元分析（整体坐标系下的单元分析 ）
1、单元坐标转换矩阵
两种坐标系中单元的杆端力转换关系为：
y
x Y 2 F 2
y
e2
X2
局部坐标系下的分量
X1 1
整体坐标系下的分量
F1
x Y 1 X1 e cos
0
XY12
Y2
sin
0
0
0
cos sin
FF12
e
FeTTFe
力 法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具
体情况，不宜实现计算机计算的自动化，但其优点是计算出 的结果就是力。
位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强，
目前广为采用。
7
第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路 b、基本假设和基本原理
线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理
11
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
单元分析的目的是以结点位移为基本未知量，分析每个单元 的结点力和结点位移及荷载之间的关系，即建立单元刚度方 程，并用矩阵形式表示。
1、坐标系的选择: 在矩阵位移法中采用两种坐标系： 局部坐标系和整体坐标系。
y
xx
FP
整体坐标
y
局部坐标
y
x
12
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵 采用局部坐标系（以杆的轴线作为x轴）时，杆端力及
杆端位移的正方向以坐标轴正方向为正。
y
EA
杆件方向： 1 2
F1e u1 1
e
l
F
e 2
2 u2
x
杆端位移： u1, u2
杆端内力： F1 , F2
13
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵
自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物 理意义，并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。
4
第一节 矩阵位移法概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础; 以矩阵作为数学表达形式; 以电子计算机作为计算手段
三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方 法。 采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一， 便于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电 子计算机进行自动化计算的要求。
用局部量表示整体量 ？
20
第三节 单元分析（整体坐标系下的单元分析 ）
2、整体坐标系中的单元刚度矩阵
F eTTFeTTkeδe TT keTekee
Fe kee
ke T T keT
整体坐标系下的单刚与局部坐标
系下的单刚性质相同
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第三节 单元分析（整体坐标系下的单元分析 ）
3、整体坐标系中的单元刚度矩阵的特性
R2F12
1
P 3F 21F 22 1
FR1 1(1,2)
FR2
2 2
2
1
FR3 2(3,4)
FR4
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第四节 整体分析
1、整体刚度矩阵的集成
单元结点分量按单元定位向量向整体刚度矩阵安装
集成整体刚度矩阵的关键，是确定单元刚度矩阵中的元素在整
体刚度矩阵中的位置。
首先要知道单元的结点位移分量的局部码和总码之间的对
3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质
与单元刚度方程相应的正、反两类问题
力学 模型
解的 性质
正问题 e
F e
将单元视为两端有人为 约束控制的杆件。
控e 制附加约束加以指
定。
e 为任何值时，F e都
有对应的唯一解，且总
是平衡力系。
反问题 F e
e
将单元视为两端自由的
杆件，F直e 接加在自由端
作为指定的杆端力。
F e为不平衡力系时， e