Vr φ
M
西
oφ y
x
南
7
解：
动点：北半球纬度为φ处的河水水滴M
动系：与地球固连，定轴转动
uuv uv uuv
Q ak 2 vr ak 2vr sin
北
z
Vr
ω
ω
φ
西
k
M
oφ
y
x
uuv ak
的方向由右手螺旋法则确定，
南
它垂直于ω与vr所在的平面，沿纬线在点M的切线指向
西边，如图所示。
8
例2：牛头刨床的急回机构
uuv 2 L 2U v
aM Leabharlann 2i2 W 2L v
j 2
2W
v k
2
12
问题
图示两种情况的 科氏加速度分别 为多少？
D
ω
WC
α
U M
A
B
k
o i
j
(a)
D
ω
C
α
UW
M
A
B
k
o i
j
(b)
答案： a ak 0 b ak 2U 方向与X轴相反
13
例4：平面机构
解： 动点：销钉A点
v
a
Avr Dva
va
ω ve
vr
曲柄 销钉 套筒
φ 摇杆
已知：OA r,,oo1 l 3r 求:当曲柄在水平位置时，
摇杆O1B的角速度ω1和角加 速9 度ε1 ？
解：(1)求角速度ω1
动点：曲柄OA上的销钉A 动系：固结在摇杆O1B上，
牵连运动为定轴转动 静系：固结在地面上
va r
根据速度合成定理， 作速度平行四边形。
大小： ak 2vr sin
方向：按右手法则确定
若
uv
uuv vr
则
ak 2vr
若
uv
‖
uuv vr
则
ak
0
6
uuv vr
θ
uv
uuv ak
(1)
uv
uuv
uuv
ak
vr
(2)
四.举例
例1:某一河流在北半球纬度为φ处沿经线自南向北以速度 vr流动。考虑地球自转的影响，求河水的科氏加速度。
北 zω
uuv d vr dt
ε
ωr
i'
ro'
k
o
ij
uv
uv
v
dve
dt
d dt
uv v
r
d
dt
v uv
r
dr dt
v v uv uuv
r va
v v uv uv uuv v v uv uv uv uuv uuv uv uuv
r
uuv d vr dt
d dt
•
x
'
ve
v i'
•
的uuv加u速uv度u合uv 成uuv定理uuv，有
aa aen ae ar ak
(1)
建立X、Y轴，如图所示
将式(1)向X、Y轴投影，得
aa cos aen ar aa sin ae ak
解得：ar v2 sin3 L a cos
ae sin a v2 sin 2 L
vr U
ar W
aen 2L sin 450 2 2L 2
ae L sin 450 2 L 2
ak 2vr sin 450 2U
11
根据牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理，有
uuv uuv uuv uuv uuv
aa aen ae ar ak
(1)
D
ω
C
α
MW U
A
动点:M点，相对动系O’X’Y’Z’有运 动
根据定轴转动刚体上各点速
ε ωr
k o ij
k' j' r'
i' ro'
度和加速度的矢量表示，有
牵连速度 相对速度
uv uv v
ve r
牵连加速度
uuv • v • uv • uuv
vr x 'i ' y ' j ' z 'k '
uuv v v uv uv
19
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例3：正方形板ABCD
D
ω
C
α
MW U
A
L
B
k
o i
j
uuv
L sin 450
ωα
uauvk
ae
o
uuv aen
M
已知：板的角速度ω、角加速度α， AM=L,M点在AC槽中运动的速 度U和加速度W
求：图度示auuMv瞬时M点相对于地面的加速 解：动点：M点
动系：固结在板上，定轴转动 静系：固结在地面上
aen
12O1A
2r
8
ak 21vr 3 2r 4
根据牵连运动为定轴转动时
点的加速度合成定理，有
uuv uuv uuv uuv uuv
aa aen ae ar ak
(1)
建立X轴，如图所示
将式(1)向X轴投影，得
aa cos ae ak
解得： ae 32r 4
Q ae 12r 1 32 8
管E中的运动速度 vr 和加 速度 ar 。
E
ve AE
va sin L sin
v sin2
L
14
y
x
v
a
Avr ar
C L
φ
aa aen
ae
D
ak
E ωE
B
(2)求 ar 和αE
作加速度图
aa aCD a
aen
2 E
AE
v2
sin3
L
ak 2Evr 2v2 sin2 cos L 根据牵连运动为定轴转动时点
y
vr
uv ' j'
•
z'
uuv k'
r
••
x'
v i'
ve
••
y'
uv j'
vr
••
z'
uuv k'
ae vr
• v• • u•v x 'i ' y ' j '
•
z
'
uu•v k'
uuv
(1)
(2)
(1) ＝ ar
3
由第八章第四节的内容可知
v• uv v
i' i'
u•v uv uv
ae r ve
相对加速度
uuv •• v •• uv •• uuv ar x 'i ' y ' j ' z ' k '
2
根据速度合成定理，有
uuv uv uuv
va ve vr
k' j' r'
将上式两边对时间t求导，可得
绝对速度 其中：
uuv aa
uuv d va dt
uv d ve dt
L
B
k
o i
j
uuv
L sin 450
ωα
uauvk
ae
o
uuv aen
M
将式(1)分别向X、Y、Z轴投影，得
aax ae ak 2 L 2U 2
aay aen ar sin 450 2 W 2L 2
aaz ar cos 450 2W 2
uuv uuv v v v aM aa aax i aay j aaz k
R
ak 21vr 2 2R
y
根据牵连运动为定轴转动时
B
α2 ω2
A
α1 ωo1
uuv
arn
uuv aen
vr
Muuv ae
uuv ar
x
点uuv的加uuv速度uuv合u成uv 定uu理v ，uuv有 aa aen ae arn ar ak (1) 建立X、Y轴，如图所示 将式(1)向X、Y轴投影，得
ve
ωo1
vr
M
17
(1)求M点的绝对速度 va
动点：圆盘边缘M点 动系：固结在直角折杆OBA上，
牵连运动为定轴转动 静系：固结在地面上
ve vr R
根据速度合成定理， 作速度平行四边形。
由图中几何关系可得：
va ve2 vr2 2 R
450
答案：
作加速度图
aen arn 2R ae ar R
§8-4 牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理
一.内容
当牵连运动为定轴转动时，某瞬时动点的绝对 加速度等于它的牵连加速度、相对加速度和科氏加 速度的矢量和，即
uuv uuv uuv uuv
aa ae ar ak
a
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二.证明
静系:OXYZ
动系:O’X’Y’Z’,绕Z轴作定轴转动 角速度ω，角加速度ε， iv'、ujv' 、kuuv' 为变矢量。
C
φ
ve
动系：固结在导管E上， 定轴转动
静系：固结在地面上
L
(1)求 vr 和ωE
E
va vCD v
B
根据速度合成定理，作速
度平行四边形。
已知：水平杆CD的速度 v 和加速度 a，L、φ。
由图中几何关系可得：
求：导管E的角速度ωE和 vr va cos ve va sin